Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Используя график функции, заполните таблицу:

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки найти соответствующее значение $y$ на графике. Для этого мы находим заданное число на горизонтальной оси (оси $x$), проводим от него вертикальную линию до пересечения с кривой графика, а от точки пересечения проводим горизонтальную линию до вертикальной оси (оси $y$). Число на оси $y$ и будет искомым значением функции.

Для $x = -2$

Находим на оси абсцисс значение -2. Поднимаемся по вертикальной линии до графика. От этой точки проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку 3 на оси $y$.

Ответ: $y = 3$

Для $x = 1$

Находим на оси абсцисс значение 1. Опускаемся по вертикальной линии до графика (в данном случае это точка локального минимума). От этой точки проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку -1 на оси $y$.

Ответ: $y = -1$

Для $x = 3$

Находим на оси абсцисс значение 3. Поднимаемся по вертикальной линии до графика (в данном случае это точка локального максимума). От этой точки проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку 3 на оси $y$.

Ответ: $y = 3$

Для $x = 4$

Находим на оси абсцисс значение 4. Поднимаемся по вертикальной линии до графика. От этой точки проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку 2 на оси $y$.

Ответ: $y = 2$

Для $x = 4,5$

Находим на оси абсцисс значение 4,5 (середина между 4 и 5). Видим, что график в этой точке пересекает саму ось абсцисс. Это означает, что значение функции в этой точке равно нулю.

Ответ: $y = 0$

Для $x = 6$

Находим на оси абсцисс значение 6. Опускаемся по вертикальной линии до графика. От этой точки проводим горизонтальную линию к оси ординат. Линия попадает в точку -2 на оси $y$.

Ответ: $y = -2$

Итоговая заполненная таблица:

5. На рисунке изображены два параллельных отрезка $AB$ и $DE$. Отметьте на чертеже какую-либо точку $C$ так, чтобы ломаная $ABCDE$ образовала букву $M$. Укажите координаты этой точки.

Ответ: $C(.........; .........)$.

Для того чтобы ломаная линия ABCDE образовывала букву «М», точка C должна служить центральной нижней вершиной, соединяющей отрезки BC и CD. Данная ломаная состоит из четырех отрезков: AB, BC, CD и DE.

Сначала определим координаты заданных на рисунке точек, принимая, что одно деление на осях соответствует единице. Координаты точек: $A(1; 1)$, $B(1; 4)$, $D(4; 4)$ и $E(4; 1)$. Отрезок AB является левой вертикальной стороной буквы, а отрезок DE — правой.

Чтобы получившаяся буква «М» была симметричной, точка C должна находиться на равном расстоянии от ее вертикальных сторон. Это означает, что ее координата $x$ должна быть средним арифметическим координат $x$ точек A и E (или B и D).

$x_C = \frac{1 + 4}{2} = 2,5$

Для получения наиболее стандартного вида буквы «М», ее основание должно быть ровным. Это значит, что точка C должна лежать на той же горизонтальной линии, что и точки A и E. Координата $y$ у точек A и E равна 1, следовательно, и у точки C она должна быть равна 1.

$y_C = 1$

Таким образом, точка C должна иметь координаты $(2,5; 1)$. При соединении точек в последовательности A→B→C→D→E мы получим фигуру, визуально соответствующую букве «М».

Ответ: C(2,5; 1).

6. По графику функции, изображённому на рисунке, найдите:

а) значение функции при $x=6$;

б) значения аргумента, при которых $y=3$.

Ответ: а).................. б)................

а) значение функции при х = 6;

Чтобы найти значение функции при $x = 6$, необходимо найти на оси абсцисс (оси $x$) точку с координатой 6. Затем нужно провести из этой точки вертикальную линию до пересечения с графиком функции. После этого из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси $y$). Точка пересечения с осью $y$ и будет искомым значением функции.

Найдём на оси $x$ значение 6. Проведём перпендикуляр от этой точки до пересечения с графиком. Точка пересечения на графике имеет координаты $(6, 3)$. Следовательно, при $x = 6$ значение функции $y$ равно 3.

Ответ: 3.

б) значения аргумента, при которых y = 3.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = 3$, нужно найти на оси ординат (оси $y$) точку с координатой 3 и провести через неё горизонтальную прямую. Затем найти все точки пересечения этой прямой с графиком функции. Абсциссы (координаты $x$) этих точек и будут искомыми значениями аргумента.

Проведём горизонтальную прямую $y=3$. Эта прямая пересекает график функции в трёх точках. Найдём абсциссы этих точек, опустив из них перпендикуляры на ось $x$.

Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = 1$.
Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = 6$.
Третья точка пересечения имеет абсциссу $x = 8$.
Таким образом, функция принимает значение $y=3$ при $x=1$, $x=6$ и $x=8$.

Ответ: 1; 6; 8.

11. Докажите, что если каждое из чисел $a$ и $b$ не делится на 3, то разность их квадратов делится на 3.

По условию, числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Любое целое число, которое не делится на 3, при делении на 3 дает в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим, какой остаток дает квадрат такого числа при делении на 3.

Случай 1: Число при делении на 3 дает в остатке 1. Такое число можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — целое число. Возведем его в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Таким образом, квадрат этого числа при делении на 3 дает в остатке 1.

Случай 2: Число при делении на 3 дает в остатке 2. Такое число можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число. Возведем его в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Таким образом, квадрат этого числа также дает в остатке 1 при делении на 3.

Мы доказали, что квадрат любого целого числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает в остатке 1.

Поскольку оба числа, $a$ и $b$, не делятся на 3, их квадраты $a^2$ и $b^2$ можно представить в виде: $a^2 = 3p + 1$ $b^2 = 3q + 1$ где $p$ и $q$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем разность их квадратов: $a^2 - b^2 = (3p + 1) - (3q + 1) = 3p + 1 - 3q - 1 = 3p - 3q = 3(p - q)$.

Так как $p$ и $q$ — целые числа, то их разность $(p - q)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(p - q)$ делится на 3 нацело. Это доказывает, что разность квадратов чисел $a$ и $b$ делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов $a^2 - b^2$ всегда будет делиться на 3, если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.

12. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, отличающихся лишь порядком цифр, делится на 99.

Пусть первое двузначное число можно представить в виде $N_1 = 10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Поскольку число является двузначным, $a$ может быть любой целой цифрой от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — любой целой цифрой от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Второе число, $N_2$, согласно условию, отличается от первого лишь порядком цифр. Следовательно, его можно представить в виде $N_2 = 10b + a$. Чтобы это число также было двузначным, его первая цифра $b$ не должна равняться нулю, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$. Кроме того, числа должны быть разными, что означает $a \neq b$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов, $N_1^2 - N_2^2$, делится на 99.

Рассмотрим выражение для разности квадратов:$N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$

Для упрощения этого выражения применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.В нашем случае $x = 10a + b$ и $y = 10b + a$.

Сначала найдем разность этих чисел $(x - y)$:$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

Затем найдем их сумму $(x + y)$:$(10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу разности квадратов:$N_1^2 - N_2^2 = [9(a - b)] \cdot [11(a + b)]$$N_1^2 - N_2^2 = 9 \cdot 11 \cdot (a - b)(a + b) = 99(a - b)(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $(a - b)$ и сумма $(a + b)$ также являются целыми числами. Следовательно, их произведение $(a - b)(a + b)$ — это целое число.

Таким образом, разность квадратов двух таких чисел всегда равна произведению числа 99 на целое число $k = (a-b)(a+b)$. По определению, любое число, которое можно представить в виде $99 \cdot k$, где $k$ — целое, делится на 99 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух двузначных чисел, отличающихся лишь порядком цифр, всегда представима в виде $99(a-b)(a+b)$, где $a$ и $b$ — цифры этих чисел. Так как $(a-b)(a+b)$ является целым числом, то вся разность делится на 99.