Страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

8. Функция задана описанием: каждому двузначному числу поставлена в соответствие сумма его цифр. Укажите все значения аргумента, для которых соответствующее значение функции равно 8.

Ответ:

Согласно условию, задана функция, аргументом которой является двузначное число, а значением — сумма цифр этого числа. Требуется найти все аргументы (двузначные числа), для которых значение функции равно 8.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

Поскольку число является двузначным, на его цифры накладываются следующие ограничения:

• Цифра десятков $a$ может принимать значения от 1 до 9 ( $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ ).
• Цифра единиц $b$ может принимать значения от 0 до 9 ( $b \in \{0, 1, ..., 9\}$ ).

Значение функции по определению равно сумме цифр, то есть $a + b$. По условию задачи, эта сумма должна быть равна 8. Таким образом, мы получаем уравнение:

$a + b = 8$

Теперь найдем все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому уравнению, с учетом указанных ограничений. Мы можем сделать это, последовательно перебирая возможные значения для $a$:

• Если $a = 1$, то $b = 8 - 1 = 7$. Получаем число 17.
• Если $a = 2$, то $b = 8 - 2 = 6$. Получаем число 26.
• Если $a = 3$, то $b = 8 - 3 = 5$. Получаем число 35.
• Если $a = 4$, то $b = 8 - 4 = 4$. Получаем число 44.
• Если $a = 5$, то $b = 8 - 5 = 3$. Получаем число 53.
• Если $a = 6$, то $b = 8 - 6 = 2$. Получаем число 62.
• Если $a = 7$, то $b = 8 - 7 = 1$. Получаем число 71.
• Если $a = 8$, то $b = 8 - 8 = 0$. Получаем число 80.

Если взять $a = 9$, то $b = 8 - 9 = -1$, что не является цифрой. Если $a > 8$, значения $b$ также будут отрицательными. Следовательно, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80.

9. Площадь $S \text{ дм}^2$ поверхности куба зависит от величины $a \text{ дм}$ его ребра.

Задайте формулой зависимость S от a: ....................

Для указанных значений аргумента найдите соответствующие значения функции:

если $a=3$, то $S=$ ....................

если $a=7,5$, то $S=$ ....................

если $a=11$, то $S=$ ....................

Определите длину ребра куба, площадь поверхности которого равна:

а) $24 \text{ дм}^2$; б) $150 \text{ дм}^2$.

Площадь поверхности куба $S$ состоит из суммы площадей шести одинаковых квадратных граней. Длина ребра куба равна $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, зависимость площади поверхности $S$ (в $дм^2$) от длины ребра $a$ (в дм) задается формулой:

$S = 6a^2$

Найдем значения функции $S$ для указанных значений аргумента $a$.

если a=3, то S =

Подставляем $a=3$ дм в формулу:

$S = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ $дм^2$.

Ответ: 54.

если a=7,5, то S =

Подставляем $a=7,5$ дм в формулу:

$S = 6 \cdot (7,5)^2 = 6 \cdot 56,25 = 337,5$ $дм^2$.

Ответ: 337,5.

если a=11, то S =

Подставляем $a=11$ дм в формулу:

$S = 6 \cdot 11^2 = 6 \cdot 121 = 726$ $дм^2$.

Ответ: 726.

Теперь определим длину ребра куба $a$, зная площадь его поверхности $S$. Для этого выразим $a$ из формулы $S = 6a^2$:

$a^2 = \frac{S}{6} \implies a = \sqrt{\frac{S}{6}}$

а) 24 дм²

Чтобы найти длину ребра куба, площадь поверхности которого равна 24 $дм^2$, подставим значение $S=24$ в выведенную формулу:

$a = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2$ дм.

Ответ: 2 дм.

б) 150 дм²

Чтобы найти длину ребра куба, площадь поверхности которого равна 150 $дм^2$, подставим значение $S=150$ в формулу:

$a = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$ дм.

Ответ: 5 дм.

10. Функция задана описанием: каждому двухзначному числу $n$, не превосходящему 20, поставлен в соответствие остаток $r$ от деления этого числа на 4. Заполните таблицу:

Согласно условию задачи, нам необходимо найти остаток $r$ от деления каждого двузначного числа $n$ от 10 до 20 на 4. Операция нахождения остатка от деления числа $a$ на число $b$ записывается как $a \pmod b$. Таким образом, нам нужно вычислить $r = n \pmod 4$ для каждого значения $n$ в таблице.

Выполним вычисления для каждого значения $n$:

Для n = 10:
Делим 10 на 4. $10 = 4 \times 2 + 2$. Остаток от деления равен 2.
Ответ: 2

Для n = 11:
Делим 11 на 4. $11 = 4 \times 2 + 3$. Остаток от деления равен 3.
Ответ: 3

Для n = 12:
Делим 12 на 4. $12 = 4 \times 3 + 0$. Остаток от деления равен 0. (Это значение уже дано в таблице).
Ответ: 0

Для n = 13:
Делим 13 на 4. $13 = 4 \times 3 + 1$. Остаток от деления равен 1. (Это значение уже дано в таблице).
Ответ: 1

Для n = 14:
Делим 14 на 4. $14 = 4 \times 3 + 2$. Остаток от деления равен 2.
Ответ: 2

Для n = 15:
Делим 15 на 4. $15 = 4 \times 3 + 3$. Остаток от деления равен 3.
Ответ: 3

Для n = 16:
Делим 16 на 4. $16 = 4 \times 4 + 0$. Остаток от деления равен 0.
Ответ: 0

Для n = 17:
Делим 17 на 4. $17 = 4 \times 4 + 1$. Остаток от деления равен 1.
Ответ: 1

Для n = 18:
Делим 18 на 4. $18 = 4 \times 4 + 2$. Остаток от деления равен 2.
Ответ: 2

Для n = 19:
Делим 19 на 4. $19 = 4 \times 4 + 3$. Остаток от деления равен 3.
Ответ: 3

Для n = 20:
Делим 20 на 4. $20 = 4 \times 5 + 0$. Остаток от деления равен 0.
Ответ: 0

Теперь заполним таблицу полученными значениями.

11. Функция задана описанием: каждому натуральному числу $n$, не превосходящему 10, поставлено в соответствие число $m$ его натуральных делителей. Заполните таблицу:

Согласно условию задачи, функция ставит в соответствие каждому натуральному числу $n$, не превосходящему 10, число $m$, равное количеству его натуральных делителей. Наша задача — найти значение $m$ для каждого $n$ от 1 до 10 и заполнить таблицу.

Для n = 1:
Натуральным делителем числа 1 является только само число 1.
Делители: {1}.
Количество делителей $m = 1$.
Ответ: 1

Для n = 2:
Число 2 является простым, его натуральные делители — это 1 и 2.
Делители: {1, 2}.
Количество делителей $m = 2$.
Ответ: 2

Для n = 3:
Число 3 является простым, его натуральные делители — это 1 и 3.
Делители: {1, 3}.
Количество делителей $m = 2$.
Ответ: 2

Для n = 4:
Натуральные делители числа 4: 1, 2, 4.
Делители: {1, 2, 4}.
Количество делителей $m = 3$.
Ответ: 3

Для n = 5:
Число 5 является простым, его натуральные делители — это 1 и 5.
Делители: {1, 5}.
Количество делителей $m = 2$.
Ответ: 2

Для n = 6:
Натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.
Делители: {1, 2, 3, 6}.
Количество делителей $m = 4$.
Ответ: 4

Для n = 7:
Число 7 является простым, его натуральные делители — это 1 и 7.
Делители: {1, 7}.
Количество делителей $m = 2$.
Ответ: 2

Для n = 8:
Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
Делители: {1, 2, 4, 8}.
Количество делителей $m = 4$.
Ответ: 4

Для n = 9:
Натуральные делители числа 9: 1, 3, 9.
Делители: {1, 3, 9}.
Количество делителей $m = 3$.
Ответ: 3

Для n = 10:
Натуральные делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
Делители: {1, 2, 5, 10}.
Количество делителей $m = 4$.
Ответ: 4

Итоговая заполненная таблица выглядит следующим образом:

4. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если оно существует:

а) $(17 - 11x)(17 + 11x) = \ldots$

значение равно $\ldots$

а) Для того чтобы найти наибольшее или наименьшее значение выражения $(17-11x)(17+11x)$, сперва упростим его, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = 17$ и $b = 11x$. Применяем формулу:

$(17-11x)(17+11x) = 17^2 - (11x)^2 = 289 - 121x^2$.

Получили выражение $289 - 121x^2$. Проанализируем его. Слагаемое $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $121x^2$ также всегда неотрицательно: $121x^2 \ge 0$.

Мы вычитаем из постоянного числа 289 неотрицательное число $121x^2$. Чтобы значение всего выражения было наибольшим, нужно вычитать как можно меньшее число. Наименьшее значение $121x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Подставив $x=0$, получаем наибольшее значение выражения:

$289 - 121 \cdot 0^2 = 289 - 0 = 289$.

Так как $121x^2$ может быть сколь угодно большим, наименьшего значения у выражения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 289.

б) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{7}m - 16)(16 + \frac{1}{7}m)$. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\frac{1}{7}m - 16)(\frac{1}{7}m + 16)$.

Это также формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \frac{1}{7}m$ и $b = 16$.

Упростим выражение:

$(\frac{1}{7}m)^2 - 16^2 = \frac{1}{49}m^2 - 256$.

Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{49}m^2 - 256$. Слагаемое $m^2$ всегда неотрицательно: $m^2 \ge 0$. Значит, и $\frac{1}{49}m^2$ также неотрицательно: $\frac{1}{49}m^2 \ge 0$.

Чтобы значение всего выражения было наименьшим, значение слагаемого $\frac{1}{49}m^2$ должно быть наименьшим. Наименьшее значение $\frac{1}{49}m^2$ равно 0, и оно достигается при $m=0$.

Подставив $m=0$, получаем наименьшее значение выражения:

$\frac{1}{49} \cdot 0^2 - 256 = 0 - 256 = -256$.

Так как $\frac{1}{49}m^2$ может быть сколь угодно большим, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -256.

5. Найдите значение произведения:

$29 \cdot 31 = (30 - 1)(30 + 1) = 900 - 1 = 899$

а) $68 \cdot 72 = $

б) $7,1 \cdot 6,9 = $

в) $4,8 \cdot 5,2 = $

г) $10\frac{1}{4} \cdot 9\frac{3}{4} = $

а) Для вычисления произведения $68 \cdot 72$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Представим множители как разность и сумму одного и того же числа. Среднее арифметическое чисел 68 и 72 равно $ (68+72)/2 = 70 $. Тогда $68 = 70 - 2$ и $72 = 70 + 2$. Следовательно, произведение равно: $68 \cdot 72 = (70 - 2)(70 + 2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896$. Ответ: 4896.

б) Аналогично для произведения $7,1 \cdot 6,9$. Среднее арифметическое чисел равно $ (7,1+6,9)/2 = 7 $. Тогда $7,1 = 7 + 0,1$ и $6,9 = 7 - 0,1$. Произведение равно: $7,1 \cdot 6,9 = (7 + 0,1)(7 - 0,1) = 7^2 - (0,1)^2 = 49 - 0,01 = 48,99$. Ответ: 48,99.

в) Для произведения $4,8 \cdot 5,2$ найдем среднее арифметическое: $ (4,8+5,2)/2 = 5 $. Тогда $4,8 = 5 - 0,2$ и $5,2 = 5 + 0,2$. Произведение равно: $4,8 \cdot 5,2 = (5 - 0,2)(5 + 0,2) = 5^2 - (0,2)^2 = 25 - 0,04 = 24,96$. Ответ: 24,96.

г) Для произведения $10\frac{1}{4} \cdot 9\frac{3}{4}$ найдем среднее арифметическое: $ (10\frac{1}{4} + 9\frac{3}{4}) / 2 = (10+9 + \frac{1}{4}+\frac{3}{4}) / 2 = (19+1)/2 = 20/2 = 10 $. Тогда $10\frac{1}{4} = 10 + \frac{1}{4}$ и $9\frac{3}{4} = 10 - \frac{1}{4}$. Произведение равно: $10\frac{1}{4} \cdot 9\frac{3}{4} = (10 + \frac{1}{4})(10 - \frac{1}{4}) = 10^2 - (\frac{1}{4})^2 = 100 - \frac{1}{16} = 99\frac{15}{16}$. Ответ: $99\frac{15}{16}$.

6. Упростите выражение:

а) $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8) = $

б) $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b) = $

в) $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n) = $

г) $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p) = $

а) $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8)$

Для упрощения первого слагаемого $(a + 4)(4 - a)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Для этого представим выражение в виде $(4 + a)(4 - a)$.

$(4 + a)(4 - a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$

Далее раскроем скобки во втором слагаемом $a(a - 8)$, используя распределительный закон:

$a(a - 8) = a \cdot a - a \cdot 8 = a^2 - 8a$

Теперь сложим полученные выражения:

$(16 - a^2) + (a^2 - 8a) = 16 - a^2 + a^2 - 8a$

Приведем подобные члены ($-a^2$ и $a^2$ взаимно уничтожаются):

$16 - 8a$

Ответ: $16 - 8a$

б) $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b)$

Раскроем скобки в первой части выражения:

$b(b + 8) = b^2 + 8b$

Во второй части выражения $(b - 3)(3 + b)$ переставим слагаемые во второй скобке, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения в исходное, учитывая знак минус перед вторым произведением:

$(b^2 + 8b) - (b^2 - 9) = b^2 + 8b - b^2 + 9$

Приведем подобные члены ($b^2$ и $-b^2$ взаимно уничтожаются):

$8b + 9$

Ответ: $8b + 9$

в) $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n)$

В первом произведении $(6m + n)(n - 6m)$ переставим слагаемые в первой скобке: $(n + 6m)(n - 6m)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов:

$(n + 6m)(n - 6m) = n^2 - (6m)^2 = n^2 - 36m^2$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$3m(m - n) = 3m \cdot m - 3m \cdot n = 3m^2 - 3mn$

Сложим полученные результаты:

$(n^2 - 36m^2) + (3m^2 - 3mn) = n^2 - 36m^2 + 3m^2 - 3mn$

Приведем подобные члены ($-36m^2$ и $3m^2$):

$n^2 - 33m^2 - 3mn$

Для стандартной записи расположим члены в порядке убывания степеней переменной $m$:

$-33m^2 - 3mn + n^2$

Ответ: $-33m^2 - 3mn + n^2$

г) $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p)$

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$-5p(5p - n) = -5p \cdot 5p - (-5p) \cdot n = -25p^2 + 5pn$

Во втором слагаемом $(5p - n)(n + 5p)$ применим формулу разности квадратов, предварительно поменяв слагаемые во второй скобке: $(5p - n)(5p + n)$.

$(5p - n)(5p + n) = (5p)^2 - n^2 = 25p^2 - n^2$

Сложим полученные выражения:

$(-25p^2 + 5pn) + (25p^2 - n^2) = -25p^2 + 5pn + 25p^2 - n^2$

Приведем подобные члены ($-25p^2$ и $25p^2$ взаимно уничтожаются):

$5pn - n^2$

Ответ: $5pn - n^2$