Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

12. Функция задана таблицей:

x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

y: 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80

Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.

Для того чтобы подобрать формулу, которой задана функция, проанализируем взаимосвязь между значениями x и y, представленными в таблице.

Способ 1: Поиск закономерности через сравнение

Заметим, что значения y близки к значениям $x^2$. Сравним их для нескольких первых пар:

• При $x = 1$, $x^2 = 1^2 = 1$. Значение $y = 0$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.
• При $x = 2$, $x^2 = 2^2 = 4$. Значение $y = 3$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.
• При $x = 3$, $x^2 = 3^2 = 9$. Значение $y = 8$, что на 1 меньше, чем $x^2$. То есть $y = x^2 - 1$.

Проверим эту закономерность для остальных значений в таблице:

• При $x = 4$: $4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$. Верно.
• При $x = 5$: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Верно.
• При $x = 6$: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$. Верно.
• При $x = 7$: $7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Верно.
• При $x = 8$: $8^2 - 1 = 64 - 1 = 63$. Верно.
• При $x = 9$: $9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$. Верно.

Так как формула $y = x^2 - 1$ подходит для всех пар значений из таблицы, она является искомой.

Способ 2: Метод конечных разностей

Этот метод позволяет определить вид полиномиальной функции. Сначала найдем разности между соседними значениями y (первые разности, $\Delta y$):

$3-0=3; \quad 8-3=5; \quad 15-8=7; \quad 24-15=9; \quad \dots$

Получаем последовательность первых разностей: $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17$.

Теперь найдем разности между членами этой новой последовательности (вторые разности, $\Delta^2 y$):

$5-3=2; \quad 7-5=2; \quad 9-7=2; \quad \dots$

Вторые разности постоянны и равны 2. Это означает, что функция является квадратичной и имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Коэффициент $a$ равен половине второй разности: $a = \frac{\Delta^2 y}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, функция имеет вид $y = x^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты b и c, подставим в это уравнение координаты двух любых точек из таблицы, например, $(1, 0)$ и $(2, 3)$.

Для точки $(1, 0)$: $0 = 1^2 + b \cdot 1 + c \Rightarrow b + c = -1$.

Для точки $(2, 3)$: $3 = 2^2 + b \cdot 2 + c \Rightarrow 3 = 4 + 2b + c \Rightarrow 2b + c = -1$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} b + c = -1 \\ 2b + c = -1 \end{cases}$

Вычитая первое уравнение из второго, находим: $(2b+c) - (b+c) = -1 - (-1) \Rightarrow b = 0$.

Подставив $b=0$ в первое уравнение, получаем $c = -1$.

Таким образом, формула функции: $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 1$, что упрощается до $y = x^2 - 1$.

Ответ: $y = x^2 - 1$

1. Функция задана формулой $y = 4x + 5$. Заполните таблицу:

x: -2, -1,5, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5, 2

y: , -1, , , , , , ,

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения аргумента $x$ из таблицы найти соответствующее значение функции $y$, подставив $x$ в данную формулу $y = 4x + 5$.

При $x = -2$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$.
Ответ: -3

При $x = -1,5$:
Это значение уже дано в таблице. Проведем проверку: $y = 4 \cdot (-1,5) + 5 = -6 + 5 = -1$.
Ответ: -1

При $x = -1$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot (-1) + 5 = -4 + 5 = 1$.
Ответ: 1

При $x = -0,5$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot (-0,5) + 5 = -2 + 5 = 3$.
Ответ: 3

При $x = 0$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.
Ответ: 5

При $x = 0,5$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot 0,5 + 5 = 2 + 5 = 7$.
Ответ: 7

При $x = 1$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot 1 + 5 = 4 + 5 = 9$.
Ответ: 9

При $x = 1,5$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot 1,5 + 5 = 6 + 5 = 11$.
Ответ: 11

При $x = 2$:
Подставляем значение в формулу: $y = 4 \cdot 2 + 5 = 8 + 5 = 13$.
Ответ: 13

В результате получаем следующую заполненную таблицу:

2. Найдите область определения функции, заданной формулой:

a) $y=\frac{1}{x-3}$;

б) $y=\frac{2}{x+5}$;

в) $y=\frac{2x+3}{6}$.

а) $y = \frac{1}{x-3}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция представляет собой дробь. Единственное ограничение для дроби заключается в том, что её знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значение $x$, которое обращает знаменатель в ноль, чтобы исключить его из области определения. Для этого решим уравнение:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Таким образом, при $x=3$ функция не определена. Это означает, что аргумент $x$ может принимать любые действительные значения, кроме 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

б) $y = \frac{2}{x+5}$

Эта функция, как и предыдущая, является дробной. Следовательно, её знаменатель не должен равняться нулю. Найдем недопустимое значение $x$:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

Функция не определена при $x = -5$. Областью определения являются все действительные числа, кроме -5.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

в) $y = \frac{2x+3}{6}$

Данная функция также представляет собой дробь. Однако её знаменатель является константой, равной 6. Так как $6 \neq 0$, знаменатель никогда не обращается в ноль, независимо от значения переменной $x$. Выражение в числителе, $2x+3$, является линейным и определено для любого действительного значения $x$.

Поскольку нет значений $x$, которые бы привели к делению на ноль, никаких ограничений на область определения функции не накладывается. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Пусть P см — периметр равностороннего треугольника, а b см — длина его стороны. Задайте формулой зависимость P от b:

$P = 3b$

Воспользовавшись этой формулой, закончите запись:

если $b=7$, то $P=$

если $b=0,2$, то $P=$

если $b=13,3$, то $P=$

Периметр ($P$) равностороннего треугольника — это сумма длин трех его одинаковых сторон. Если длина одной стороны равна $b$ см, то периметр вычисляется умножением длины стороны на 3. Таким образом, зависимость периметра $P$ от длины стороны $b$ задается формулой: $P = 3b$.

Воспользовавшись этой формулой, произведем вычисления:

если b=7, то P =
Подставляем в формулу значение $b = 7$:
$P = 3 \cdot 7 = 21$.
Ответ: 21.

если b=0,2, то P =
Подставляем в формулу значение $b = 0,2$:
$P = 3 \cdot 0,2 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

если b=13,3, то P =
Подставляем в формулу значение $b = 13,3$:
$P = 3 \cdot 13,3 = 39,9$.
Ответ: 39,9.

7. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $(15 - \text{.......})(15 + \text{.......}) = \text{.......} - 49x^2;$

б) $(6m + \text{.......})(6m - \text{.......}) = \text{.......} - 81c^2;$

в) $(\text{.......} - 11b^7)(\text{.......} + 11b^7) = 25a^8 - \text{.......};$

г) $(13p^2 - \text{.......})(\text{.......} + 13p^2) = \text{.......} - 121m^4.$

а) Данное равенство представляет собой формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В исходном выражении $(15 - \ldots)(15 + \ldots) = \ldots - 49x^2$ нам известны $a = 15$ и $b^2 = 49x^2$. Найдём недостающие одночлены. Второй одночлен $b$ равен корню из $b^2$: $b = \sqrt{49x^2} = 7x$. Первый одночлен в правой части равенства равен $a^2$: $a^2 = 15^2 = 225$. Подставим найденные значения в пропуски.
Ответ: $(15 - 7x)(15 + 7x) = 225 - 49x^2$.

б) Используем ту же формулу разности квадратов. В выражении $(6m + \ldots)(6m - \ldots) = \ldots - 81c^2$ нам известны $a = 6m$ и $b^2 = 81c^2$. Находим второй одночлен в скобках: $b = \sqrt{81c^2} = 9c$. Находим первый одночлен в правой части равенства: $a^2 = (6m)^2 = 36m^2$. Заполняем пропуски.
Ответ: $(6m + 9c)(6m - 9c) = 36m^2 - 81c^2$.

в) В равенстве $(\ldots - 11b^7)(\ldots + 11b^7) = 25a^8 - \ldots$ по формуле разности квадратов нам известны $b = 11b^7$ и $a^2 = 25a^8$. Найдём первый одночлен в скобках: $a = \sqrt{25a^8} = 5a^4$. Найдём второй одночлен в правой части: $b^2 = (11b^7)^2 = 121b^{14}$. Подставляем найденные одночлены в исходное выражение.
Ответ: $(5a^4 - 11b^7)(5a^4 + 11b^7) = 25a^8 - 121b^{14}$.

г) В выражении $(13p^2 - \ldots)(\ldots + 13p^2) = \ldots - 121m^4$ используем формулу разности квадратов. Заметим, что $(\ldots + 13p^2)$ то же самое, что $(13p^2 + \ldots)$ из-за коммутативности сложения. Таким образом, нам известны $a = 13p^2$ и $b^2 = 121m^4$. Найдём $b$: $b = \sqrt{121m^4} = 11m^2$. Найдём $a^2$: $a^2 = (13p^2)^2 = 169p^4$. Заполняем все пропуски.
Ответ: $(13p^2 - 11m^2)(11m^2 + 13p^2) = 169p^4 - 121m^4$.

8. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2)=$

б) $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b)=$

в) $(c - 1)^2(c + 1)^2=$

г) $(3 - a)^2(3 + a)^2=$

а) Для преобразования выражения $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала применим ее к первым двум множителям: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Теперь выражение выглядит так: $(a^2 - 9)(9 + a^2)$. Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $(a^2 - 9)(a^2 + 9)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — число $9$:
$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.
Ответ: $a^4 - 81$.

б) В выражении $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b)$ переставим множители для удобства: $(b^2 + 4)(b - 2)(b + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к произведению $(b - 2)(b + 2)$:
$(b - 2)(b + 2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $(b^2 + 4)(b^2 - 4)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов, где $x = b^2$ и $y = 4$:
$(b^2 + 4)(b^2 - 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16$.
Ответ: $b^4 - 16$.

в) Для преобразования выражения $(c - 1)^2(c + 1)^2$ воспользуемся свойством степени: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(c - 1)^2(c + 1)^2 = ((c - 1)(c + 1))^2$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $(c - 1)(c + 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
Теперь нам нужно возвести в квадрат полученный результат: $(c^2 - 1)^2$.
Используем формулу "квадрат разности" $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = c^2$ и $y = 1$:
$(c^2 - 1)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 1 + 1^2 = c^4 - 2c^2 + 1$.
Ответ: $c^4 - 2c^2 + 1$.

г) Выражение $(3 - a)^2(3 + a)^2$ преобразуется аналогично предыдущему пункту. Используем свойство степени $x^n y^n = (xy)^n$:
$(3 - a)^2(3 + a)^2 = ((3 - a)(3 + a))^2$.
Выражение в скобках — это разность квадратов: $(3 - a)(3 + a) = 3^2 - a^2 = 9 - a^2$.
Теперь возведем в квадрат полученное выражение: $(9 - a^2)^2$.
Применим формулу "квадрат разности" $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 9$ и $y = a^2$:
$(9 - a^2)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 81 - 18a^2 + a^4$.
Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной): $a^4 - 18a^2 + 81$.
Ответ: $a^4 - 18a^2 + 81$.

9. Выполните умножение:

$(a^{3n} - b^{3n})(a^{3n} + b^{3n}) = (a^{3n})^2 - (b^{3n})^2 = a^{6n} - b^{6n}$

a) $(2^k + 3^p)(3^p - 2^k) = $

б) $(6x^{k-2} - y^{k+2})(y^{k+2} + 6x^{k-2}) = $

в) $(10p^{m-1} + 9q^n)(9q^n - 10p^{m-1}) = $

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) $(2^k + 3^p)(3^p - 2^k)$

Чтобы применить формулу, поменяем слагаемые в первой скобке местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

$(2^k + 3^p)(3^p - 2^k) = (3^p + 2^k)(3^p - 2^k)$

Теперь выражение имеет вид $(a+b)(a-b)$, где $a = 3^p$ и $b = 2^k$. Применяем формулу разности квадратов:

$(3^p)^2 - (2^k)^2$

Используя свойство степени "возведение степени в степень" $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:

$3^{2p} - 2^{2k}$

Ответ: $3^{2p} - 2^{2k}$

б) $(6x^{k-2} - y^{k+2})(y^{k+2} + 6x^{k-2})$

Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$(6x^{k-2} - y^{k+2})(6x^{k-2} + y^{k+2})$

В данном случае $a = 6x^{k-2}$ и $b = y^{k+2}$. Применяем формулу разности квадратов:

$(6x^{k-2})^2 - (y^{k+2})^2$

Теперь возведем в квадрат каждый член, используя свойства степеней $(xy)^n = x^ny^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(6x^{k-2})^2 = 6^2 \cdot (x^{k-2})^2 = 36x^{2(k-2)} = 36x^{2k-4}$

$(y^{k+2})^2 = y^{2(k+2)} = y^{2k+4}$

Подставляем полученные выражения обратно:

$36x^{2k-4} - y^{2k+4}$

Ответ: $36x^{2k-4} - y^{2k+4}$

в) $(10p^{m-1} + 9q^n)(9q^n - 10p^{m-1})$

Переставим слагаемые в первой скобке:

$(9q^n + 10p^{m-1})(9q^n - 10p^{m-1})$

Здесь $a = 9q^n$ и $b = 10p^{m-1}$. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$(9q^n)^2 - (10p^{m-1})^2$

Возводим в квадрат, применяя свойства степеней:

$(9q^n)^2 = 9^2 \cdot (q^n)^2 = 81q^{2n}$

$(10p^{m-1})^2 = 10^2 \cdot (p^{m-1})^2 = 100p^{2(m-1)} = 100p^{2m-2}$

Собираем итоговое выражение:

$81q^{2n} - 100p^{2m-2}$

Ответ: $81q^{2n} - 100p^{2m-2}$