Номер 8, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 8, страница 50.

Условие.

8. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2)=$

б) $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b)=$

в) $(c - 1)^2(c + 1)^2=$

г) $(3 - a)^2(3 + a)^2=$

Решение.

Решение 2.

а) Для преобразования выражения $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала применим ее к первым двум множителям: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Теперь выражение выглядит так: $(a^2 - 9)(9 + a^2)$. Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $(a^2 - 9)(a^2 + 9)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — число $9$:
$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.
Ответ: $a^4 - 81$.

б) В выражении $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b)$ переставим множители для удобства: $(b^2 + 4)(b - 2)(b + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к произведению $(b - 2)(b + 2)$:
$(b - 2)(b + 2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $(b^2 + 4)(b^2 - 4)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов, где $x = b^2$ и $y = 4$:
$(b^2 + 4)(b^2 - 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16$.
Ответ: $b^4 - 16$.

в) Для преобразования выражения $(c - 1)^2(c + 1)^2$ воспользуемся свойством степени: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(c - 1)^2(c + 1)^2 = ((c - 1)(c + 1))^2$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $(c - 1)(c + 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
Теперь нам нужно возвести в квадрат полученный результат: $(c^2 - 1)^2$.
Используем формулу "квадрат разности" $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = c^2$ и $y = 1$:
$(c^2 - 1)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 1 + 1^2 = c^4 - 2c^2 + 1$.
Ответ: $c^4 - 2c^2 + 1$.

г) Выражение $(3 - a)^2(3 + a)^2$ преобразуется аналогично предыдущему пункту. Используем свойство степени $x^n y^n = (xy)^n$:
$(3 - a)^2(3 + a)^2 = ((3 - a)(3 + a))^2$.
Выражение в скобках — это разность квадратов: $(3 - a)(3 + a) = 3^2 - a^2 = 9 - a^2$.
Теперь возведем в квадрат полученное выражение: $(9 - a^2)^2$.
Применим формулу "квадрат разности" $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 9$ и $y = a^2$:
$(9 - a^2)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 81 - 18a^2 + a^4$.
Запишем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной): $a^4 - 18a^2 + 81$.
Ответ: $a^4 - 18a^2 + 81$.