Номер 11, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 51.

Условие.

11. Докажите, что при любом значении b:

а) значение выражения $\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) + 2,75$ равно 3;

б) значение выражения $\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)(0,25b + 3,2) + \frac{1}{16}b^2$ равно 10,24.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $b$, упростим его. Рассмотрим произведение скобок: $(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$. Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$, где $a = \frac{1}{2}$ и $c = \frac{1}{3}b$.
Применим формулу:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2) + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{4} + 2,75$.
Члены, содержащие $b^2$, взаимно уничтожаются. Остается вычислить сумму чисел. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{4} = 0,25$.
$0,25 + 2,75 = 3$.
Таким образом, значение выражения равно 3 при любом значении $b$, что и требовалось доказать.
Ответ: 3.

б) Упростим данное выражение. Рассмотрим произведение скобок: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(0,25b + 3,2)$. Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$. Тогда произведение примет вид: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(\frac{1}{4}b + 3,2)$.
Переставим слагаемые во второй скобке: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(3,2 + \frac{1}{4}b)$. Это также формула разности квадратов $(a-c)(a+c) = a^2 - c^2$, где $a = 3,2$ и $c = \frac{1}{4}b$.
Применим формулу:
$(3,2)^2 - (\frac{1}{4}b)^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(10,24 - \frac{1}{16}b^2) + \frac{1}{16}b^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2$.
Члены, содержащие $b^2$, взаимно уничтожаются.
В результате остается $10,24$.
Следовательно, значение выражения равно $10,24$ при любом значении $b$, что и требовалось доказать.
Ответ: 10,24.