Номер 12, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 12, страница 51.

Условие.

12. Представьте в виде многочлена выражение:

$(a+b-2)(a+b+2)=(a+b)^2-2^2=a^2+2ab+b^2-4$

а) $(x-y-7)(x+7-y)=$

б) $(m-3n-2)(m+3n+2)=$

в) $(a-4b+6)(a+6+4b)=$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $(x-y-7)(x+7-y)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в скобках. Заметим, что во второй скобке можно поменять слагаемые местами: $(x+7-y) = (x-y+7)$.

Получаем: $(x-y-7)(x-y+7)$.

Теперь выражение имеет вид $((x-y)-7)((x-y)+7)$.

Здесь $A = (x-y)$ и $B = 7$. Применяем формулу разности квадратов:

$(x-y)^2 - 7^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(x^2 - 2xy + y^2) - 49 = x^2 - 2xy + y^2 - 49$.

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - 49$.

б) Рассмотрим выражение $(m-3n-2)(m+3n+2)$. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу разности квадратов. Вынесем минус за скобки в первом множителе:

$(m - (3n+2))(m + (3n+2))$

Это выражение соответствует формуле $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$, где $A = m$ и $B = (3n+2)$.

Применяем формулу:

$m^2 - (3n+2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$m^2 - ((3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 2 + 2^2) = m^2 - (9n^2 + 12n + 4)$

Раскрываем скобки, меняя знаки:

$m^2 - 9n^2 - 12n - 4$.

Ответ: $m^2 - 9n^2 - 12n - 4$.

в) Рассмотрим выражение $(a-4b+6)(a+6+4b)$. Перегруппируем слагаемые в скобках для удобства:

$((a+6)-4b)((a+6)+4b)$

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$, где $A = (a+6)$ и $B = 4b$.

Применяем формулу:

$(a+6)^2 - (4b)^2$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и возведем в квадрат второй член:

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 16b^2 = (a^2 + 12a + 36) - 16b^2$

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:

$a^2 - 16b^2 + 12a + 36$.

Ответ: $a^2 - 16b^2 + 12a + 36$.