Номер 4, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 4, страница 54.

Условие.

4. Разложите на множители:

a) $16a^4 - b^4 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2) = $

б) $\frac{1}{81}x^4 - 0.01y^4 = $

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное выражение $16a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(4a^2)^2 - (b^2)^2$.

Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = 4a^2$ и $y = b^2$.

$16a^4 - b^4 = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$

Теперь обратим внимание на первый множитель $(4a^2 - b^2)$. Он также является разностью квадратов: $(2a)^2 - b^2$. Применим ту же формулу еще раз, где $x = 2a$ и $y = b$:

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

Второй множитель, $(4a^2 + b^2)$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Объединив полученные результаты, мы получаем окончательное разложение исходного выражения:

$(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{81}x^4 - 0,01y^4$.

Для удобства преобразуем десятичную дробь $0,01$ в обыкновенную: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{1}{81}x^4 - \frac{1}{100}y^4$.

Это выражение является разностью квадратов. Представим каждый его член в виде квадрата:

$\frac{1}{81}x^4 = (\frac{1}{9}x^2)^2$

$\frac{1}{100}y^4 = (\frac{1}{10}y^2)^2$

Таким образом, мы получили выражение $(\frac{1}{9}x^2)^2 - (\frac{1}{10}y^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{1}{9}x^2$ и $B = \frac{1}{10}y^2$:

$(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$

Рассмотрим полученные множители. Второй множитель $(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$ — это сумма квадратов, которая не раскладывается на множители. Первый множитель $(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)$ является разностью выражений $(\frac{1}{3}x)^2$ и $(\frac{y}{\sqrt{10}})^2$. Поскольку $\sqrt{10}$ является иррациональным числом, дальнейшее разложение на множители с рациональными коэффициентами невозможно. Поэтому полученное выражение является окончательным ответом.

Ответ: $(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{10}y^2)(\frac{1}{9}x^2 + \frac{1}{10}y^2)$