Номер 10, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 10, страница 55.

Условие.

10. Докажите, что при любом целом n:

а) значение выражения $(8n + 4)^2 – (2n + 1)^2$ делится на 15;

б) значение выражения $(10n + 5)^2 – (2n + 1)^2$ делится на 24;

в) значение выражения $(10n + 5)^2 – (6n + 3)^2$ делится на 16.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 15 при любом целом $n$, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 = ((8n + 4) - (2n + 1)) \cdot ((8n + 4) + (2n + 1))$
Упростим выражение:
$(8n - 2n + 4 - 1) \cdot (8n + 2n + 4 + 1) = (6n + 3)(10n + 5)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$3(2n + 1) \cdot 5(2n + 1) = 15(2n + 1)^2$
Поскольку $n$ — целое число, то $(2n + 1)$ — целое число, и $(2n + 1)^2$ также является целым числом. Таким образом, выражение $15(2n + 1)^2$ всегда кратно 15. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Для доказательства того, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 24 при любом целом $n$, воспользуемся формулой разности квадратов.
$(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2 = ((10n + 5) - (2n + 1)) \cdot ((10n + 5) + (2n + 1))$
Упростим выражение:
$(10n - 2n + 5 - 1) \cdot (10n + 2n + 5 + 1) = (8n + 4)(12n + 6)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$4(2n + 1) \cdot 6(2n + 1) = 24(2n + 1)^2$
Так как $n$ — целое число, выражение $(2n + 1)^2$ является целым числом. Следовательно, произведение $24(2n + 1)^2$ всегда делится на 24. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Для доказательства того, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2$ делится на 16 при любом целом $n$, применим формулу разности квадратов.
$(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2 = ((10n + 5) - (6n + 3)) \cdot ((10n + 5) + (6n + 3))$
Упростим выражение:
$(10n - 6n + 5 - 3) \cdot (10n + 6n + 5 + 3) = (4n + 2)(16n + 8)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$2(2n + 1) \cdot 8(2n + 1) = 16(2n + 1)^2$
Так как $n$ — целое число, $(2n + 1)^2$ также является целым числом. Произведение $16(2n + 1)^2$ всегда делится на 16. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.