Номер 15, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 15, страница 58.

Условие.

15. Представьте выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители:

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3) = $

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3)$

Сначала раскроем скобки в выражении:

$m^2 - n^2 + 12n - 36$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на члены, содержащие $n$, и свободный член: $-n^2 + 12n - 36$. Вынесем знак минус за скобки:

$-(n^2 - 12n + 36)$

Выражение в скобках, $n^2 - 12n + 36$, является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=n$ и $y=6$. Проверим: $n^2 - 2 \cdot n \cdot 6 + 6^2 = n^2 - 12n + 36$.

Таким образом, $n^2 - 12n + 36 = (n - 6)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$m^2 - (n - 6)^2$

Теперь выражение представлено в виде разности квадратов. Для разложения на множители применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=m$ и $y=(n-6)$.

$(m - (n - 6))(m + (n - 6))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m - n + 6)(m + n - 6)$

Ответ: $m^2 - (n-6)^2 = (m - n + 6)(m + n - 6)$.

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2$

Сначала раскроем скобки в выражении:

$a^2 - 11b \cdot 2n - 11b \cdot 11b - n^2 = a^2 - 22bn - 121b^2 - n^2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Объединим члены, не содержащие $a$, и вынесем за скобки минус:

$a^2 - (n^2 + 22bn + 121b^2)$

Выражение в скобках, $n^2 + 22bn + 121b^2$, является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=n$ и $y=11b$. Проверим: $n^2 + 2 \cdot n \cdot (11b) + (11b)^2 = n^2 + 22bn + 121b^2$.

Таким образом, $n^2 + 22bn + 121b^2 = (n + 11b)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$a^2 - (n + 11b)^2$

Теперь выражение представлено в виде разности квадратов. Для разложения на множители применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a$ и $y=(n+11b)$.

$(a - (n + 11b))(a + (n + 11b))$

Раскроем внутренние скобки:

$(a - n - 11b)(a + n + 11b)$

Ответ: $a^2 - (n+11b)^2 = (a - n - 11b)(a + n + 11b)$.