Номер 2, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 2, страница 59.

Условие.

2. Представьте в виде многочлена:

$(\frac{1}{5}x^2 + \frac{1}{3}y)(\frac{1}{25}x^4 - \frac{1}{15}x^2y + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{5}x^2)^3 + (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{125}x^6 + \frac{1}{27}y^3$

а) $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2) = ...$

б) $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} + 0,25b^{16} - 0,2a^6b^8) = ...$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы представить выражение $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2)$ в виде многочлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения, а именно формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.
В данном случае в качестве $x$ выступает $\frac{1}{7}m^6$, а в качестве $y$ — $\frac{7}{9}n$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $x^2+xy+y^2$:
$x^2 = (\frac{1}{7}m^6)^2 = \frac{1}{49}m^{12}$
$xy = (\frac{1}{7}m^6)(\frac{7}{9}n) = \frac{7}{63}m^6n = \frac{1}{9}m^6n$
$y^2 = (\frac{7}{9}n)^2 = \frac{49}{81}n^2$
Поскольку все члены во второй скобке совпадают, мы можем применить формулу разности кубов.
Результатом будет $x^3 - y^3$:
$(\frac{1}{7}m^6)^3 - (\frac{7}{9}n)^3 = \frac{1^3}{7^3}(m^6)^3 - \frac{7^3}{9^3}n^3 = \frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.
Ответ: $\frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.

б) Рассмотрим выражение $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} + 0,25b^{16} - 0,2a^6b^8)$. Для наглядности переставим слагаемые во второй скобке: $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} - 0,2a^6b^8 + 0,25b^{16})$.
Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.
Здесь $x = 0,4a^6$ и $y = 0,5b^8$.
Проверим, является ли вторая скобка неполным квадратом разности этих выражений:
$x^2 = (0,4a^6)^2 = 0,16a^{12}$
$xy = (0,4a^6)(0,5b^8) = 0,2a^6b^8$
$y^2 = (0,5b^8)^2 = 0,25b^{16}$
Все члены совпадают с формулой $x^2-xy+y^2$. Таким образом, мы можем применить формулу суммы кубов.
Результатом будет $x^3 + y^3$:
$(0,4a^6)^3 + (0,5b^8)^3 = 0,4^3(a^6)^3 + 0,5^3(b^8)^3 = 0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.
Ответ: $0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.