Номер 8, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 8, страница 60.

Условие.

8. Выполните разложение двучлена $x^6 - 64$ на множители разными способами.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = ....................$

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = ....................$

Решение.

Решение 2.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 =$ Сначала представим выражение как разность квадратов. Для этого используем формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = x^3$ и $b = 8$.
$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$.
Теперь каждый из полученных множителей можно разложить дальше. Первый множитель $x^3 - 8$ — это разность кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$), а второй $x^3 + 8$ — это сумма кубов ($a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$).
Разложим $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$:
$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.
Разложим $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$:
$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
Соединив все множители, получаем окончательное разложение:
$(x-2)(x+2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 =$ Теперь представим исходное выражение как разность кубов. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В этом случае $a = x^2$ и $b = 4$.
$(x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$.
Теперь разложим каждый из множителей. Первый множитель $x^2 - 4$ — это разность квадратов:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$.
Второй множитель $x^4 + 4x^2 + 16$ можно разложить методом выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^2+4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$, прибавив и отняв $4x^2$:
$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2 = (x^2+4)^2 - (2x)^2$.
Теперь мы получили разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a = x^2+4$ и $b=2x$:
$(x^2+4)^2 - (2x)^2 = (x^2+4-2x)(x^2+4+2x)$.
Соединив все полученные множители, получаем окончательное разложение:
$(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.