Номер 13, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 62.

Условие.

13. Разложите на множители:

a) $a^3+a^2-4ab-8b^3+4b^2=$

б) $x^3+2x^2-64y^3+32y^2+8xy=$

Решение.

Решение 2.

а)

Дано выражение: $a^3 + a^2 - 4ab - 8b^3 + 4b^2$.

Для того чтобы разложить выражение на множители, воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было применить формулы сокращенного умножения:

$ (a^3 - 8b^3) + (a^2 - 4ab + 4b^2) $

Первая группа слагаемых, $(a^3 - 8b^3)$, является разностью кубов. Представим $8b^3$ как $(2b)^3$ и применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$ a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + a \cdot 2b + (2b)^2) = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) $

Вторая группа слагаемых, $(a^2 - 4ab + 4b^2)$, является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2 $

Теперь подставим полученные разложения обратно в сгруппированное выражение:

$ (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b)^2 $

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки:

$ (a - 2b) \cdot [ (a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b) ] $

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки:

$ (a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2) $

Ответ: $(a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2)$

б)

Дано выражение: $x^3 + 2x^2 - 64y^3 + 32y^2 + 8xy$.

Для разложения на множители применим метод группировки. Переставим слагаемые, чтобы выделить известные формулы:

$ (x^3 - 64y^3) + (2x^2 + 8xy + 32y^2) $

Первая группа, $(x^3 - 64y^3)$, является разностью кубов. Представим $64y^3$ как $(4y)^3$ и применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$ x^3 - (4y)^3 = (x - 4y)(x^2 + x \cdot 4y + (4y)^2) = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Во второй группе, $(2x^2 + 8xy + 32y^2)$, вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:

$ 2(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Подставим полученные выражения обратно в сгруппированную сумму:

$ (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2) + 2(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Оба слагаемых содержат общий множитель $(x^2 + 4xy + 16y^2)$. Вынесем его за скобки:

$ (x^2 + 4xy + 16y^2) \cdot [ (x - 4y) + 2 ] $

Упростим выражение во вторых скобках:

$ (x^2 + 4xy + 16y^2)(x - 4y + 2) $

Ответ: $(x - 4y + 2)(x^2 + 4xy + 16y^2)$