Номер 9, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 60.

Условие.

9. Упростите выражение:

a) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2)(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4) - \frac{1}{343}y^6 =$

б) $(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2) + \frac{8}{27}b^3 =$

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2\right)\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) - \frac{1}{343}y^6 $.

Произведение первых двух скобок напоминает формулу суммы кубов: $ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $.

Пусть $ a = \frac{1}{2}x^2 $ и $ b = \frac{1}{7}y^2 $.

Тогда проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ a^2 - ab + b^2 $:

$ a^2 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 = \frac{1}{4}x^4 $

$ ab = \left(\frac{1}{2}x^2\right) \cdot \left(\frac{1}{7}y^2\right) = \frac{1}{14}x^2y^2 $

$ b^2 = \left(\frac{1}{7}y^2\right)^2 = \frac{1}{49}y^4 $

Действительно, вторая скобка $ \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) $ совпадает с $ (a^2-ab+b^2) $.

Следовательно, произведение первых двух скобок равно $ a^3 + b^3 $.

Вычислим $ a^3 $ и $ b^3 $:

$ a^3 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^3 = \frac{1^3}{2^3}(x^2)^3 = \frac{1}{8}x^6 $

$ b^3 = \left(\frac{1}{7}y^2\right)^3 = \frac{1^3}{7^3}(y^2)^3 = \frac{1}{343}y^6 $

Таким образом, $ \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2\right)\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6\right) - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 $.

Ответ: $ \frac{1}{8}x^6 $

б)

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2\right) + \frac{8}{27}b^3 $.

Переупорядочим слагаемые во второй скобке, чтобы привести ее к стандартному виду:

$ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) + \frac{8}{27}b^3 $

Произведение первых двух скобок напоминает формулу разности кубов: $ (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3 $.

Пусть $ x = \frac{1}{12}a $ и $ y = \frac{2}{3}b $.

Тогда проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ x^2 + xy + y^2 $:

$ x^2 = \left(\frac{1}{12}a\right)^2 = \frac{1}{144}a^2 $

$ xy = \left(\frac{1}{12}a\right) \cdot \left(\frac{2}{3}b\right) = \frac{2}{36}ab = \frac{1}{18}ab $

$ y^2 = \left(\frac{2}{3}b\right)^2 = \frac{4}{9}b^2 $

Действительно, вторая скобка $ \left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) $ совпадает с $ (x^2+xy+y^2) $.

Следовательно, произведение первых двух скобок равно $ x^3 - y^3 $.

Вычислим $ x^3 $ и $ y^3 $:

$ x^3 = \left(\frac{1}{12}a\right)^3 = \frac{1^3}{12^3}a^3 = \frac{1}{1728}a^3 $

$ y^3 = \left(\frac{2}{3}b\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}b^3 = \frac{8}{27}b^3 $

Таким образом, $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3\right) + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 $.

Ответ: $ \frac{1}{1728}a^3 $