Номер 6, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 6, страница 60.

Условие.

6. Выполните разложение на множители:

$\frac{4}{27}x^3+0,004 = 4\left(\frac{1}{27}x^3+0,001\right)=4\left(\frac{1}{3}x+0,1\right)\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{30}x+0,01\right)$

a) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = $

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189 = $

Решение.

Решение 2.

а) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3$

Для разложения на множители данного выражения сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим числовым множителем для $\frac{3}{8}$ и $24$ является $\frac{3}{8}$.

Вынесем $\frac{3}{8}$ за скобки:

$\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = \frac{3}{8}(x^3 - \frac{24}{\frac{3}{8}}y^3) = \frac{3}{8}(x^3 - \frac{24 \cdot 8}{3}y^3) = \frac{3}{8}(x^3 - 64y^3)$

Теперь выражение в скобках $x^3 - 64y^3$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В нашем случае $A^3 = x^3$, значит $A = x$.

$B^3 = 64y^3 = (4y)^3$, значит $B = 4y$.

Подставим эти значения в формулу:

$x^3 - (4y)^3 = (x - 4y)(x^2 + x \cdot (4y) + (4y)^2) = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

Возвращая общий множитель $\frac{3}{8}$, получаем окончательное разложение:

$\frac{3}{8}(x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

Ответ: $\frac{3}{8}(x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189$

Для удобства переставим слагаемые местами: $189 - \frac{7}{64}a^3$.

Теперь вынесем общий числовой множитель за скобки. Заметим, что $189 = 7 \cdot 27$. Значит, общий множитель - это 7.

Вынесем 7 за скобки:

$189 - \frac{7}{64}a^3 = 7(27 - \frac{1}{64}a^3)$

Выражение в скобках $27 - \frac{1}{64}a^3$ является разностью кубов. Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном случае $A^3 = 27 = 3^3$, значит $A = 3$.

$B^3 = \frac{1}{64}a^3 = (\frac{1}{4}a)^3$, значит $B = \frac{1}{4}a$.

Подставим $A$ и $B$ в формулу:

$3^3 - (\frac{1}{4}a)^3 = (3 - \frac{1}{4}a)(3^2 + 3 \cdot (\frac{1}{4}a) + (\frac{1}{4}a)^2) = (3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$

Теперь вернем общий множитель 7 и получим итоговое разложение:

$7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$

Ответ: $7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$.