Номер 16, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 16, страница 58.

Условие.

16. Преобразуйте выражение в произведение:

а) $x^{4m} - y^{2n} =$

б) $a^{4n+2} - b^{2n+4} =$

в) $81a^{6n-12} - 49b^{4n-8} =$

г) $0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4} =$

Решение.

Решение 2.

а) $x^{4m} - y^{2n}$

Для того чтобы преобразовать данное выражение в произведение, мы воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член исходного выражения в виде квадрата, используя свойство степени $(a^p)^q = a^{pq}$:
Первый член: $x^{4m} = x^{2 \cdot 2m} = (x^{2m})^2$.
Второй член: $y^{2n} = y^{2 \cdot n} = (y^n)^2$.
Теперь наше выражение принимает вид разности квадратов:
$x^{4m} - y^{2n} = (x^{2m})^2 - (y^n)^2$
Применяя формулу, где $A = x^{2m}$ и $B = y^n$, получаем:
$(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$
Ответ: $(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$

б) $a^{4n+2} - b^{2n+4}$

Это выражение также можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Для этого представим каждый член выражения в виде квадрата. Вынесем 2 за скобки в показателях степеней:
Первый член: $a^{4n+2} = a^{2(2n+1)} = (a^{2n+1})^2$.
Второй член: $b^{2n+4} = b^{2(n+2)} = (b^{n+2})^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$a^{4n+2} - b^{2n+4} = (a^{2n+1})^2 - (b^{n+2})^2$
Теперь применим формулу разности квадратов, где $A = a^{2n+1}$ и $B = b^{n+2}$:
$(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$
Ответ: $(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$

в) $81a^{6n-12} - 49b^{4n-8}$

Воспользуемся той же формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждое слагаемое в виде полного квадрата:
Первый член: $81a^{6n-12} = 9^2 \cdot a^{2(3n-6)} = (9a^{3n-6})^2$.
Второй член: $49b^{4n-8} = 7^2 \cdot b^{2(2n-4)} = (7b^{2n-4})^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов:
$(9a^{3n-6})^2 - (7b^{2n-4})^2$
Применим формулу, где $A = 9a^{3n-6}$ и $B = 7b^{2n-4}$:
$(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$
Ответ: $(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$

г) $0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4}$

В данном выражении переменная $y$ присутствует в обоих членах. Первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем будет $y$ в наименьшей из двух степеней. Степень $2n-4$ является меньшей или равной степени $4n-6$ (при $n \ge 1$), поэтому вынесем за скобки $y^{2n-4}$.
Для этого представим $y^{4n-6}$ как $y^{(2n-4) + (2n-2)} = y^{2n-4} \cdot y^{2n-2}$.
После вынесения общего множителя выражение принимает вид:
$0,16y^{2n-4} \cdot y^{2n-2} - 0,25y^{2n-4} = y^{2n-4}(0,16y^{2n-2} - 0,25)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках, $0,16y^{2n-2} - 0,25$, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в скобках в виде квадрата:
$0,16y^{2n-2} = (0,4)^2 \cdot y^{2(n-1)} = (0,4y^{n-1})^2$
$0,25 = (0,5)^2$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$(0,4y^{n-1})^2 - (0,5)^2 = (0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$
Соединив все части, получаем итоговое произведение:
$y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$
Ответ: $y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$