Номер 14, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 57.

Условие.

14. Представьте в виде произведения:

a) $16(3a + 1)^2 - 9a^2 = $

б) $64x^2 - 9(2x - 3)^2 = $

в) $4(2p - 3)^2 - 25p^2 = $

г) $49m^2 - 9(2m - 5)^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) Исходное выражение $16(3a + 1)^2 - 9a^2$ представляет собой разность квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:
$16(3a + 1)^2 = (4 \cdot (3a + 1))^2 = (12a + 4)^2$
$9a^2 = (3a)^2$
Теперь, когда у нас есть $A = 12a + 4$ и $B = 3a$, подставим их в формулу:
$(12a + 4)^2 - (3a)^2 = ((12a + 4) - 3a)((12a + 4) + 3a)$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(12a - 3a + 4)(12a + 3a + 4) = (9a + 4)(15a + 4)$
Ответ: $(9a + 4)(15a + 4)$

б) Выражение $64x^2 - 9(2x - 3)^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$64x^2 = (8x)^2$
$9(2x - 3)^2 = (3 \cdot (2x - 3))^2 = (6x - 9)^2$
В данном случае $A = 8x$ и $B = 6x - 9$. Подставим их в формулу:
$(8x)^2 - (6x - 9)^2 = (8x - (6x - 9))(8x + (6x - 9))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(8x - 6x + 9)(8x + 6x - 9) = (2x + 9)(14x - 9)$
Ответ: $(2x + 9)(14x - 9)$

в) Выражение $4(2p - 3)^2 - 25p^2$ является разностью квадратов. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов:
$4(2p - 3)^2 = (2 \cdot (2p - 3))^2 = (4p - 6)^2$
$25p^2 = (5p)^2$
Здесь $A = 4p - 6$ и $B = 5p$. Подставляем в формулу:
$(4p - 6)^2 - (5p)^2 = ((4p - 6) - 5p)((4p - 6) + 5p)$
Упрощаем выражения в скобках:
$(4p - 5p - 6)(4p + 5p - 6) = (-p - 6)(9p - 6)$
Ответ: $(-p - 6)(9p - 6)$

г) Выражение $49m^2 - 9(2m - 5)^2$ — это разность квадратов. Разложим его на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$49m^2 = (7m)^2$
$9(2m - 5)^2 = (3 \cdot (2m - 5))^2 = (6m - 15)^2$
У нас $A = 7m$ и $B = 6m - 15$. Подставим в формулу разности квадратов:
$(7m)^2 - (6m - 15)^2 = (7m - (6m - 15))(7m + (6m - 15))$
Упростим, раскрыв внутренние скобки:
$(7m - 6m + 15)(7m + 6m - 15) = (m + 15)(13m - 15)$
Ответ: $(m + 15)(13m - 15)$