Номер 8, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 8, страница 55.

Условие.

8. Разложите на множители:

a) $81a^4 - 1$ =

б) $0.0001x^4 - y^4$ =

Решение.

Решение 2.

а) Для разложения на множители выражения $81a^4 - 1$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $81a^4 = (9a^2)^2$ и $1 = 1^2$.
$81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2$
Применяем формулу, где $A = 9a^2$ и $B = 1$:
$(9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$
Теперь рассмотрим множитель $(9a^2 - 1)$. Он также является разностью квадратов, поскольку $9a^2 = (3a)^2$.
$9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2$
Применим формулу еще раз, где $A = 3a$ и $B = 1$:
$(3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$
Множитель $(9a^2 + 1)$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$81a^4 - 1 = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$
Ответ: $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

б) Для разложения на множители выражения $0.0001x^4 - y^4$ мы также будем использовать формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Заметим, что $0.0001x^4 = (0.01x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.
$0.0001x^4 - y^4 = (0.01x^2)^2 - (y^2)^2$
Применяем формулу, где $A = 0.01x^2$ и $B = y^2$:
$(0.01x^2)^2 - (y^2)^2 = (0.01x^2 - y^2)(0.01x^2 + y^2)$
Теперь рассмотрим множитель $(0.01x^2 - y^2)$. Это тоже разность квадратов, поскольку $0.01x^2 = (0.1x)^2$.
$0.01x^2 - y^2 = (0.1x)^2 - y^2$
Применим формулу еще раз, где $A = 0.1x$ и $B = y$:
$(0.1x)^2 - y^2 = (0.1x - y)(0.1x + y)$
Множитель $(0.01x^2 + y^2)$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, окончательное разложение выглядит так:
$0.0001x^4 - y^4 = (0.1x - y)(0.1x + y)(0.01x^2 + y^2)$
Ответ: $(0.1x - y)(0.1x + y)(0.01x^2 + y^2)$