Номер 6, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 6, страница 54.

Условие.

6. Докажите, что при любом натуральном n:

a) значение выражения $(n+13)^2 - (n-12)^2$ кратно 25;

б) значение выражения $(4n+1)^2 - (4n-3)^2$ кратно 8.

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения $(n+13)^2 - (n-12)^2$ кратно 25 при любом натуральном $n$, мы воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к данному выражению, где $a = n+13$ и $b = n-12$:

$(n+13)^2 - (n-12)^2 = ((n+13) - (n-12)) \cdot ((n+13) + (n-12))$

Теперь упростим каждый из множителей в правой части равенства:

Первый множитель: $(n+13) - (n-12) = n + 13 - n + 12 = 25$.

Второй множитель: $(n+13) + (n-12) = n + 13 + n - 12 = 2n + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$25 \cdot (2n+1)$

Поскольку $n$ — это любое натуральное число, то $2n+1$ является целым числом. Произведение числа 25 на любое целое число всегда будет делиться на 25 без остатка. Следовательно, значение выражения кратно 25.

Ответ: Значение выражения равно $25(2n+1)$, поэтому оно кратно 25 при любом натуральном $n$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(4n+1)^2 - (4n-3)^2$ кратно 8, мы снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В этом случае $a = 4n+1$ и $b = 4n-3$. Применим формулу:

$(4n+1)^2 - (4n-3)^2 = ((4n+1) - (4n-3)) \cdot ((4n+1) + (4n-3))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(4n+1) - (4n-3) = 4n + 1 - 4n + 3 = 4$.

Второй множитель: $(4n+1) + (4n-3) = 4n + 1 + 4n - 3 = 8n - 2$.

Теперь наше выражение имеет вид:

$4 \cdot (8n - 2)$

Вынесем общий множитель 2 из второго выражения в скобках:

$4 \cdot 2(4n - 1) = 8(4n - 1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $4n-1$ также является целым числом. Произведение числа 8 на любое целое число всегда кратно 8. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $8(4n-1)$, поэтому оно кратно 8 при любом натуральном $n$.