Номер 14, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 52.

Условие.

14. Преобразуйте выражения в многочлен:

a) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

$= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) - x^{32} =$

Решение.

Решение 2.

а) Для решения этой задачи мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

1. Сначала преобразуем первые два множителя:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Выражение примет вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

2. Теперь применим ту же формулу к новым первым двум множителям, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение станет таким:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^4$ и $y = b^4$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

Выражение упрощается до:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8)$

4. И последний раз применяем формулу, где $x = a^8$ и $y = b^8$:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8) = (a^8)^2 - (b^8)^2 = a^{16} - b^{16}$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение в многочлен.

Ответ: $a^{16} - b^{16}$

б) В этом выражении также используется многократное применение формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) - x^{32}$

1. Упростим произведение скобок, последовательно сворачивая их:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Подставим результат в произведение:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

2. Следующий шаг:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Продолжаем упрощать произведение:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

3. Повторяем процедуру:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

$(x^8 - 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

4. Ещё раз:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1)$

5. И последнее преобразование произведения:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$

6. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^{32} - 1) - x^{32}$

7. Упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$x^{32} - 1 - x^{32} = -1$

Ответ: $-1$