Номер 13, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 57.

Условие.

13. На сторонах прямоугольника построены квадраты, площадь одного из которых на 39 $\text{см}^2$ больше площади другого. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 26 $\text{см}$.

Решение. ..........................

........................

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 26 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 26$
$a+b = 13$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_a = a^2$. Площадь квадрата со стороной $b$ равна $S_b = b^2$. По условию, площадь одного из квадратов на 39 см² больше площади другого. Предположим, что $a$ - большая сторона, тогда $S_a > S_b$. Составим второе уравнение:
$a^2 - b^2 = 39$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a+b = 13 \\ a^2 - b^2 = 39 \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для второго уравнения:
$(a-b)(a+b) = 39$
Теперь подставим в это уравнение значение $(a+b)$ из первого уравнения системы:
$(a-b) \cdot 13 = 39$
Разделим обе части уравнения на 13:
$a-b = \frac{39}{13}$
$a-b = 3$

Теперь решим новую, более простую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} a+b = 13 \\ a-b = 3 \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(a+b) + (a-b) = 13 + 3$
$2a = 16$
$a = 8$

Подставим найденное значение $a=8$ в первое уравнение $a+b=13$:
$8 + b = 13$
$b = 13 - 8$
$b = 5$

Итак, мы нашли стороны прямоугольника: 8 см и 5 см.
Проверим правильность решения:
1. Периметр: $P = 2(8+5) = 2 \cdot 13 = 26$ см. Это соответствует условию.
2. Площади квадратов: $S_a = 8^2 = 64$ см², $S_b = 5^2 = 25$ см².
3. Разность площадей: $S_a - S_b = 64 - 25 = 39$ см². Это также соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см.