Номер 4, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 4, страница 59.

Условие.

4. Разложите на множители:

а) $8m^3 - n^3 = $

б) $a^3 + 27b^3 = $

в) $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы разложить на множители выражение $8m^3 - n^3$, необходимо применить формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

$8m^3 = 2^3 \cdot m^3 = (2m)^3$

$n^3 = (n)^3$

Теперь подставим в формулу $x = 2m$ и $y = n$:

$8m^3 - n^3 = (2m)^3 - n^3 = (2m - n)((2m)^2 + (2m)(n) + n^2)$

Упростим полученное выражение:

$(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$

Ответ: $(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.

б) Для разложения выражения $a^3 + 27b^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$a^3 = (a)^3$

$27b^3 = 3^3 \cdot b^3 = (3b)^3$

Подставим в формулу $x = a$ и $y = 3b$:

$a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3 = (a + 3b)(a^2 - a(3b) + (3b)^2)$

Упростим выражение:

$(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$

Ответ: $(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$.

в) Для разложения выражения $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3$ также применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$\frac{1}{8}m^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot m^3 = (\frac{1}{2}m)^3$

$\frac{1}{27}n^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot n^3 = (\frac{1}{3}n)^3$

Подставим в формулу $x = \frac{1}{2}m$ и $y = \frac{1}{3}n$:

$\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3 = (\frac{1}{2}m)^3 + (\frac{1}{3}n)^3 = (\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)((\frac{1}{2}m)^2 - (\frac{1}{2}m)(\frac{1}{3}n) + (\frac{1}{3}n)^2)$

Упростим полученное выражение:

$(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$

Ответ: $(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$.