Номер 10, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 10, страница 61.

Условие.

10. Укажите все натуральные числа, являющиеся делителями суммы:

а) $5^3 + 3^3 = ...

искомые числа: ...

б) $8^3 + 6^3 = ...

искомые числа: ...

в) $7^3 + 5^3 = ...

искомые числа: ...

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти все натуральные делители суммы $5^3 + 3^3$, необходимо сначала вычислить значение этого выражения.
$5^3 + 3^3 = 125 + 27 = 152$.
Далее, разложим полученное число на простые множители:
$152 = 2 \cdot 76 = 2 \cdot 2 \cdot 38 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 19 = 2^3 \cdot 19^1$.
Все натуральные делители числа $152$ получаются путем всевозможных комбинаций его простых множителей. Делителями будут числа вида $2^k \cdot 19^m$, где $k$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$, а $m$ — значения $0, 1$.
Перечислим их в порядке возрастания:
$2^0 \cdot 19^0 = 1$
$2^1 \cdot 19^0 = 2$
$2^2 \cdot 19^0 = 4$
$2^3 \cdot 19^0 = 8$
$2^0 \cdot 19^1 = 19$
$2^1 \cdot 19^1 = 38$
$2^2 \cdot 19^1 = 76$
$2^3 \cdot 19^1 = 152$
Ответ: 1, 2, 4, 8, 19, 38, 76, 152.

б) Вычислим сумму $8^3 + 6^3$:
$8^3 + 6^3 = 512 + 216 = 728$.
Разложим число 728 на простые множители:
$728 = 2 \cdot 364 = 2^2 \cdot 182 = 2^3 \cdot 91 = 2^3 \cdot 7^1 \cdot 13^1$.
Натуральные делители числа 728 — это все возможные произведения его простых множителей. Чтобы найти их все, составим комбинации множителей $2, 7, 13$ в соответствующих степенях.
Делители: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.
Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.

в) Вычислим сумму $7^3 + 5^3$:
$7^3 + 5^3 = 343 + 125 = 468$.
Разложим число 468 на простые множители:
$468 = 2 \cdot 234 = 2^2 \cdot 117 = 2^2 \cdot 9 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^1$.
Делители числа $468$ являются произведениями множителей $2, 3, 13$ в степенях от нуля до указанных в разложении.
Делители, не содержащие 13 (делители числа $2^2 \cdot 3^2=36$): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Делители, содержащие 13 (получаются умножением предыдущего списка на 13): 13, 26, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.
Объединяя и упорядочивая оба списка, получаем все натуральные делители.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.