Номер 2, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 2, страница 62.

Условие.

2. Докажите, что при любом целом m значение выражения $(m+1)(m+3)-(1-7m)(1+7m)-(2-m)$ кратно 5.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 5 при любом целом $m$, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $(m+1)(m+3) - (1-7m)(1+7m) - (2-m)$.

Последовательно раскроем скобки. Сначала произведение первых двух скобок:

$(m+1)(m+3) = m \cdot m + m \cdot 3 + 1 \cdot m + 1 \cdot 3 = m^2 + 4m + 3$.

Далее раскроем второе произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(1-7m)(1+7m) = 1^2 - (7m)^2 = 1 - 49m^2$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(m^2 + 4m + 3) - (1 - 49m^2) - (2-m)$.

Раскроем оставшиеся скобки, обращая внимание на знаки:

$m^2 + 4m + 3 - 1 + 49m^2 - 2 + m$.

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(m^2 + 49m^2) + (4m + m) + (3 - 1 - 2)$.

Выполним вычисления в каждой группе:

$50m^2 + 5m + 0 = 50m^2 + 5m$.

Чтобы доказать кратность 5, вынесем общий множитель 5 за скобки:

$50m^2 + 5m = 5(10m^2 + m)$.

По условию, $m$ — целое число. Следовательно, $m^2$ — также целое число. Выражение в скобках, $10m^2 + m$, является суммой произведений целых чисел, а значит, его значение всегда будет целым числом. Если мы обозначим $k = 10m^2 + m$, где $k$ — целое число, то исходное выражение можно записать в виде $5k$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $5k$, где $k$ — целое, по определению кратно 5. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 5 при любом целом $m$.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $5(10m^2 + m)$. Так как $m$ — целое число, то выражение $10m^2 + m$ также является целым числом. Произведение числа 5 на целое число всегда кратно 5, что и требовалось доказать.