Номер 8, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 8, страница 64.

Условие.

8. Докажите, что при любом целом $m$ значение выражения

$(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$

является чётным числом.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$ является чётным числом при любом целом $m$, необходимо упростить это выражение.

1. Вынесем общий множитель $(m - 1)$ за скобки:

$(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3 = (m - 1) \cdot [(m^2 + 1) - (m - 1)^2]$

2. Раскроем квадрат разности $(m - 1)^2$ по формуле сокращённого умножения $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(m - 1)^2 = m^2 - 2m + 1$

3. Подставим результат в выражение в квадратных скобках и упростим его:

$(m^2 + 1) - (m^2 - 2m + 1) = m^2 + 1 - m^2 + 2m - 1 = (m^2 - m^2) + (1 - 1) + 2m = 2m$

4. Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное преобразованное выражение:

$(m - 1) \cdot (2m) = 2m(m - 1)$

Полученное выражение $2m(m - 1)$ содержит множитель 2. Поскольку по условию $m$ является целым числом, то и $(m-1)$ является целым числом, а их произведение $m(m - 1)$ также является целым числом. Любое целое число, умноженное на 2, является чётным. Следовательно, значение выражения $2m(m - 1)$ всегда будет чётным.

Это также можно доказать, рассмотрев произведение $m(m-1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных целых чисел одно из них обязательно чётное. Произведение чётного числа на любое целое число всегда является чётным. Таким образом, $m(m-1)$ всегда чётно, а $2 \cdot m(m-1)$ будет делиться не только на 2, но и на 4.

Ответ: Исходное выражение $(m^2 + 1)(m - 1) - (m - 1)^3$ после упрощения равно $2m(m - 1)$. Так как $m$ — целое число, то $m(m-1)$ — также целое число. Наличие множителя 2 в итоговом выражении доказывает, что его значение всегда делится на 2 без остатка, то есть является чётным числом при любом целом $m$.