Номер 15, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 15, страница 66.

Условие.

15. Прямоугольную площадку, примыкающую к зданию, требуется оградить забором длиной 80 м. Какими должны быть размеры площадки, чтобы её площадь была наибольшей?

Решение.

Решение 2.

Пусть одна сторона прямоугольной площадки, перпендикулярная зданию, имеет длину $x$ метров. Так как площадка прямоугольная, то противоположная сторона, также перпендикулярная зданию, будет иметь такую же длину $x$. Пусть третья сторона, параллельная зданию, имеет длину $y$ метров. Четвертой стороной является стена здания, поэтому ее огораживать не нужно.

Схема ограждения будет состоять из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$. Общая длина забора по условию составляет 80 метров. Таким образом, мы можем составить уравнение для периметра ограждаемых сторон:

$2x + y = 80$

Площадь прямоугольной площадки $S$ вычисляется по формуле:

$S = x \cdot y$

Наша задача — найти такие значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Для этого выразим одну переменную через другую из уравнения для периметра и подставим в формулу площади. Выразим $y$:

$y = 80 - 2x$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, получив функцию площади, зависящую от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (80 - 2x) = 80x - 2x^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 80x$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-2$). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсциссу вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -2$ и $b = 80$. Найдем значение $x$, при котором площадь будет максимальной:

$x = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20$ м

Теперь, когда мы нашли оптимальную длину стороны $x$, найдем соответствующую длину стороны $y$:

$y = 80 - 2x = 80 - 2 \cdot 20 = 80 - 40 = 40$ м

Таким образом, чтобы площадь была наибольшей, стороны, перпендикулярные зданию, должны быть по 20 метров, а сторона, параллельная зданию, — 40 метров.

Ответ: Размеры площадки должны быть 20 м и 40 м.