Номер 6, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 6, страница 69.

Условие.

6. Решите уравнение:

а) $49x^3 - x = 0;$

б) $81x^4 - 16 = 0;$

в) $1,2x^5 + 0,6x^4 = 0;$

г) $0,25x^4 - x^2 = 0.$

Решение.

Решение 2.

а) $49x^3 - x = 0$

Чтобы решить это уравнение, вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $49x^2 - 1 = 0$

Решим второе уравнение. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 7x$ и $b = 1$.

$(7x - 1)(7x + 1) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{7}$

$7x + 1 = 0 \implies 7x = -1 \implies x_3 = -\frac{1}{7}$

Таким образом, у уравнения есть три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{7}, x_3 = -\frac{1}{7}$.

б) $81x^4 - 16 = 0$

Это уравнение представляет собой разность квадратов, так как $81x^4 = (9x^2)^2$ и $16 = 4^2$. Разложим его на множители:

$(9x^2 - 4)(9x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $9x^2 - 4 = 0$

Это снова разность квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = 0$.

$(3x - 2)(3x + 2) = 0$

Отсюда находим два корня:

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x_1 = \frac{2}{3}$

$3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{3}$

2) $9x^2 + 4 = 0$

$9x^2 = -4$

$x^2 = -\frac{4}{9}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

в) $1,2x^5 + 0,6x^4 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $0,6x^4$:

$0,6x^4(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $0,6x^4 = 0 \implies x^4 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2} = -0,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0,5$.

г) $0,25x^4 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0,25x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $0,25x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов, так как $0,25x^2 = (0,5x)^2$ и $1=1^2$.

$(0,5x - 1)(0,5x + 1) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$0,5x - 1 = 0 \implies 0,5x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{0,5} = 2$

$0,5x + 1 = 0 \implies 0,5x = -1 \implies x_3 = \frac{-1}{0,5} = -2$

Таким образом, у уравнения есть три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2$.