Номер 11, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 71.

Условие.

11. Разложите на множители многочлен:

a) $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3 = $

б) $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x = $

Решение.

Решение 2.

a) Чтобы разложить многочлен $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3$ на множители, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(xyz - 4x^2z) + (4x^2y - 16x^3)$. Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $xz$, а во второй — $4x^2$. Получаем: $xz(y - 4x) + 4x^2(y - 4x)$. Теперь мы видим общий множитель $(y - 4x)$, который также можно вынести за скобки: $(y - 4x)(xz + 4x^2)$. Заметим, что во второй скобке $(xz + 4x^2)$ есть общий множитель $x$. Вынесем его: $(y - 4x)x(z + 4x)$. Для стандартного вида переставим множители: $x(z + 4x)(y - 4x)$.
Ответ: $x(z + 4x)(y - 4x)$

б) Рассмотрим многочлен $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x$. Для разложения на множители перегруппируем его члены: $(3x^2 - 12y^2) + (4x - 8y)$. Из первой группы вынесем общий множитель 3: $3(x^2 - 4y^2)$. Выражение в скобках представляет собой разность квадратов $x^2 - (2y)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получив $3(x - 2y)(x + 2y)$. Из второй группы вынесем общий множитель 4: $4(x - 2y)$. Теперь исходное выражение имеет вид: $3(x - 2y)(x + 2y) + 4(x - 2y)$. Вынесем общий множитель $(x - 2y)$ за скобки: $(x - 2y)[3(x + 2y) + 4]$. Упростим выражение во вторых скобках: $(x - 2y)(3x + 6y + 4)$.
Ответ: $(x - 2y)(3x + 6y + 4)$