Номер 8, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 8, страница 69.

Условие.

8. Разложите многочлен на множители:

а) $4a^2 - 4b^2 - a - b = $

б) $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y = $

в) $16p^2 - y^2 + 8y - 16 = $

г) $0,25a^2 - a - b^2 + 1 = $

Решение.

Решение 2.

а) $4a^2 - 4b^2 - a - b$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(4a^2 - 4b^2) - (a + b)$

В первой скобке вынесем общий множитель 4. Получим выражение, которое является разностью квадратов:

$4(a^2 - b^2) - (a + b)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению $a^2 - b^2$:

$4(a - b)(a + b) - (a + b)$

Теперь мы видим, что $(a + b)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(a + b)(4(a - b) - 1)$

Раскроем скобки внутри второй скобки, чтобы получить окончательный ответ:

$(a + b)(4a - 4b - 1)$

Ответ: $(a + b)(4a - 4b - 1)$

б) $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y$

Сгруппируем члены многочлена: первые два и последние два.

$(9x^2 - 9y^2) + (-3x + 3y)$

Вынесем общие множители из каждой группы: 9 из первой и -3 из второй.

$9(x^2 - y^2) - 3(x - y)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению $x^2 - y^2$:

$9(x - y)(x + y) - 3(x - y)$

Теперь мы видим общий множитель $3(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$3(x - y)[3(x + y) - 1]$

Раскроем внутренние скобки для окончательного вида:

$3(x - y)(3x + 3y - 1)$

Ответ: $3(x-y)(3x+3y-1)$

в) $16p^2 - y^2 + 8y - 16$

Сгруппируем последние три члена. Чтобы получить формулу квадрата разности, вынесем знак минус за скобку:

$16p^2 - (y^2 - 8y + 16)$

Выражение в скобках $y^2 - 8y + 16$ является полным квадратом разности $(y-4)^2$, так как $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y-4)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$16p^2 - (y - 4)^2$

Теперь у нас есть разность квадратов. Представим $16p^2$ как $(4p)^2$. Выражение принимает вид $A^2 - B^2$, где $A=4p$ и $B=(y-4)$.

$(4p)^2 - (y - 4)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(4p - (y - 4))(4p + (y - 4))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4p - y + 4)(4p + y - 4)$

Ответ: $(4p - y + 4)(4p + y - 4)$

г) $0,25a^2 - a - b^2 + 1$

Перегруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат по переменной $a$:

$(0,25a^2 - a + 1) - b^2$

Выражение в скобках $0,25a^2 - a + 1$ представляет собой полный квадрат разности. Представим $0,25a^2$ как $(0,5a)^2$ и $1$ как $1^2$. Проверим средний член: $2 \cdot (0,5a) \cdot 1 = a$. Таким образом, $0,25a^2 - a + 1 = (0,5a - 1)^2$.

Подставим это в наше выражение:

$(0,5a - 1)^2 - b^2$

Теперь мы имеем разность квадратов вида $A^2 - B^2$, где $A = (0,5a - 1)$ и $B = b$.

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((0,5a - 1) - b)((0,5a - 1) + b)$

Раскроем внутренние скобки:

$(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$

Ответ: $(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$