Номер 4, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 4, страница 68.

Условие.

4. Представьте в виде произведения:

а) $8a^3 - 0.001 = $

б) $16a^4 - 1 = $

в) $a^6 - 64 = $

г) $a^8 - 81 = $

Решение.

Решение 2.

а)

Данное выражение является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба: $8a^3 = (2a)^3$ и $0,001 = (0,1)^3$.

Следовательно, в нашем случае $x = 2a$ и $y = 0,1$. Подставим эти значения в формулу:

$8a^3 - 0,001 = (2a)^3 - (0,1)^3 = (2a - 0,1)((2a)^2 + 2a \cdot 0,1 + (0,1)^2) = (2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$.

Ответ: $(2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$

б)

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим слагаемые в виде квадратов: $16a^4 = (4a^2)^2$ и $1 = 1^2$.

Применяя формулу, получаем: $16a^4 - 1 = (4a^2)^2 - 1^2 = (4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.

Заметим, что первый множитель $(4a^2 - 1)$ также является разностью квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$. Разложим его дальше:

$4a^2 - 1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a - 1)(2a + 1)$.

Множитель $(4a^2 + 1)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, итоговое разложение имеет вид: $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$.

Ответ: $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$

в)

Это выражение можно разложить как разность квадратов, используя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим слагаемые в виде квадратов: $a^6 = (a^3)^2$ и $64 = 8^2$.

Применяем формулу: $a^6 - 64 = (a^3)^2 - 8^2 = (a^3 - 8)(a^3 + 8)$.

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(a^3 - 8)$ и сумма кубов $(a^3 + 8)$. Разложим каждый из них.

Для разности кубов используем формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Для суммы кубов используем формулу $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Собираем все множители вместе: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4)$

г)

Данное выражение является разностью квадратов. Последовательно применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

На первом шаге представим слагаемые как квадраты: $a^8 = (a^4)^2$ и $81 = 9^2$.

$a^8 - 81 = (a^4)^2 - 9^2 = (a^4 - 9)(a^4 + 9)$.

Первый множитель $(a^4 - 9)$ снова является разностью квадратов. Разложим его, представив $a^4 = (a^2)^2$ и $9 = 3^2$.

$a^4 - 9 = (a^2)^2 - 3^2 = (a^2 - 3)(a^2 + 3)$.

Подставив результат, получим: $(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$.

Полученные множители $(a^2 - 3)$, $(a^2 + 3)$ и $(a^4 + 9)$ являются неприводимыми над полем рациональных чисел (то есть не раскладываются на множители с целыми или дробными коэффициентами). На этом разложение обычно завершают.

Ответ: $(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$