Номер 5, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 5, страница 68.

Условие.

5. Разложите на множители многочлен $a^{12} - b^{12}$, представив его сначала в виде разности квадратов, а затем в виде разности кубов:

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 = \dots$

...

...

...

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 = \dots$

...

...

...

Решение.

Решение 2.

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 =$ ...

Чтобы разложить многочлен $a^{12} - b^{12}$ на множители, представив его как разность квадратов, воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В данном случае $x = a^6$ и $y = b^6$.

$a^{12} - b^{12} = (a^6)^2 - (b^6)^2 = (a^6 - b^6)(a^6 + b^6)$

Теперь необходимо разложить на множители каждый из полученных двучленов: $a^6 - b^6$ и $a^6 + b^6$.

Двучлен $a^6 - b^6$ представим как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$ и далее разложим, используя формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Двучлен $a^6 + b^6$ раскладывается как сумма кубов, где $x=a^2$ и $y=b^2$:

$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)( (a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2 ) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Объединим все полученные множители. Итоговое разложение будет произведением всех найденных множителей, сгруппированных для удобства:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $(a^6 - b^6)(a^6 + b^6) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 =$ ...

Теперь разложим тот же многочлен, представив его как разность кубов. Применим формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. В этом случае $x = a^4$ и $y = b^4$.

$a^{12} - b^{12} = (a^4)^3 - (b^4)^3 = (a^4 - b^4)( (a^4)^2 + a^4b^4 + (b^4)^2 ) = (a^4 - b^4)(a^8 + a^4b^4 + b^8)$

Далее разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $a^4 - b^4$ раскладывается как разность квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$

Второй множитель $a^8 + a^4b^4 + b^8$ можно разложить методом дополнения до полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов:

$a^8 + a^4b^4 + b^8 = (a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - a^4b^4 = (a^4 + b^4)^2 - (a^2b^2)^2 = (a^4 + b^4 - a^2b^2)(a^4 + b^4 + a^2b^2)$

Многочлен $a^4 + a^2b^2 + b^4$ из полученного произведения можно также разложить, дополнив до полного квадрата:

$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)$

Соберем все множители вместе. Итоговое разложение, как и должно быть, совпадает с результатом, полученным в первой части:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $(a^4 - b^4)(a^8 + a^4b^4 + b^8) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)$