Номер 10, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 10, страница 71.

Условие.

10. Преобразуйте многочлен в произведение:

а) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2 = $

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2$

Для преобразования многочлена в произведение используем метод группировки. Переставим слагаемые и сгруппируем их:

$(4x^3 + 4x^2y) - (xy^2 + y^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$4x^2(x + y) - y^2(x + y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x + y)(4x^2 - y^2)$

Выражение во второй скобке $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$

Подставив это разложение, получаем окончательный результат:

$(x + y)(2x - y)(2x + y)$

Ответ: $(x + y)(2x - y)(2x + y)$

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2$

Для преобразования данного многочлена в произведение применим метод группировки. Перегруппируем слагаемые:

$(x^3 + y^3) + (-9x^2 + 9xy - 9y^2)$

Первую группу $(x^3 + y^3)$ разложим на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Во второй группе $(-9x^2 + 9xy - 9y^2)$ вынесем общий множитель $-9$ за скобки:

$-9(x^2 - xy + y^2)$

Теперь исходный многочлен можно записать в виде:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) - 9(x^2 - xy + y^2)$

Мы видим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - xy + y^2)(x + y - 9)$

Ответ: $(x^2 - xy + y^2)(x + y - 9)$