Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. В записи вида $a^n$:

а) число $a$ называется ............

б) число $n$ называется ............

в) выражение $a^n$ называется ............

а) число $a$ называется основанием степени. Основание — это число, которое возводится в степень, то есть умножается само на себя указанное число раз. Например, в выражении $5^3$ основанием является число 5.
Ответ: основанием степени.

б) число $n$ называется показателем степени. Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз основание нужно умножить само на себя. Он записывается справа вверху от основания. В примере $5^3$ показателем степени является число 3.
Ответ: показателем степени.

в) выражение $a^n$ называется степенью. Степень — это как само выражение (запись вида $a^n$), так и результат этого действия (возведения в степень). Например, выражение $5^3$ — это степень, и результат вычисления, равный $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, также является значением этой степени.
Ответ: степенью.

2. Представьте произведение в виде степени:

a) $16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 = $

б) $\underbrace{7 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 7}_{\text{15 раз}} = $

в) $\underbrace{3y \cdot 3y \cdot \dots \cdot 3y}_{\text{11 раз}} = $

г) $\underbrace{(-5p) \cdot (-5p) \cdot \dots \cdot (-5p)}_{\text{n раз}} = $

а) Чтобы представить произведение в виде степени, нужно определить основание и показатель степени. В выражении $16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16$ множитель 16 повторяется 5 раз. Следовательно, число 16 является основанием степени, а число 5 — показателем степени.
$16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 = 16^5$
Ответ: $16^5$

б) В этом произведении число 7 умножается само на себя 15 раз, как указано под выражением. Значит, основанием степени будет 7, а показателем степени — 15.
$\underbrace{7 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 7}_{15 \text{ раз}} = 7^{15}$
Ответ: $7^{15}$

в) Здесь повторяющимся множителем является выражение $3y$. Оно умножается само на себя 11 раз. Поэтому основанием степени является $3y$, а показателем — 11. Чтобы показать, что в степень возводится все выражение, а не только $y$, его необходимо взять в скобки.
$\underbrace{3y \cdot 3y \cdot \ldots \cdot 3y}_{11 \text{ раз}} = (3y)^{11}$
Ответ: $(3y)^{11}$

г) В данном произведении выражение $(-5p)$ является множителем, который повторяется $n$ раз. Основанием степени будет $(-5p)$, а показателем — $n$. Скобки необходимы, чтобы показать, что в степень возводится все выражение, включая знак минус и коэффициент 5.
$\underbrace{(-5p) \cdot (-5p) \cdot \ldots \cdot (-5p)}_{n \text{ раз}} = (-5p)^n$
Ответ: $(-5p)^n$

10. Преобразуйте многочлен в произведение:

а) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2 = $

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2 = $

а) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2$

Для преобразования многочлена в произведение используем метод группировки. Переставим слагаемые и сгруппируем их:

$(4x^3 + 4x^2y) - (xy^2 + y^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$4x^2(x + y) - y^2(x + y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x + y)(4x^2 - y^2)$

Выражение во второй скобке $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$

Подставив это разложение, получаем окончательный результат:

$(x + y)(2x - y)(2x + y)$

Ответ: $(x + y)(2x - y)(2x + y)$

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2$

Для преобразования данного многочлена в произведение применим метод группировки. Перегруппируем слагаемые:

$(x^3 + y^3) + (-9x^2 + 9xy - 9y^2)$

Первую группу $(x^3 + y^3)$ разложим на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Во второй группе $(-9x^2 + 9xy - 9y^2)$ вынесем общий множитель $-9$ за скобки:

$-9(x^2 - xy + y^2)$

Теперь исходный многочлен можно записать в виде:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) - 9(x^2 - xy + y^2)$

Мы видим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - xy + y^2)(x + y - 9)$

Ответ: $(x^2 - xy + y^2)(x + y - 9)$

11. Разложите на множители многочлен:

a) $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3 = $

б) $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x = $

a) Чтобы разложить многочлен $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3$ на множители, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(xyz - 4x^2z) + (4x^2y - 16x^3)$. Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $xz$, а во второй — $4x^2$. Получаем: $xz(y - 4x) + 4x^2(y - 4x)$. Теперь мы видим общий множитель $(y - 4x)$, который также можно вынести за скобки: $(y - 4x)(xz + 4x^2)$. Заметим, что во второй скобке $(xz + 4x^2)$ есть общий множитель $x$. Вынесем его: $(y - 4x)x(z + 4x)$. Для стандартного вида переставим множители: $x(z + 4x)(y - 4x)$.
Ответ: $x(z + 4x)(y - 4x)$

б) Рассмотрим многочлен $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x$. Для разложения на множители перегруппируем его члены: $(3x^2 - 12y^2) + (4x - 8y)$. Из первой группы вынесем общий множитель 3: $3(x^2 - 4y^2)$. Выражение в скобках представляет собой разность квадратов $x^2 - (2y)^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получив $3(x - 2y)(x + 2y)$. Из второй группы вынесем общий множитель 4: $4(x - 2y)$. Теперь исходное выражение имеет вид: $3(x - 2y)(x + 2y) + 4(x - 2y)$. Вынесем общий множитель $(x - 2y)$ за скобки: $(x - 2y)[3(x + 2y) + 4]$. Упростим выражение во вторых скобках: $(x - 2y)(3x + 6y + 4)$.
Ответ: $(x - 2y)(3x + 6y + 4)$

12. Укажите все натуральные делители числа p, если $p = 2^3 + 2^4 + 2^5$.

Для того чтобы найти все натуральные делители числа $p$, сначала упростим выражение для $p$, приведя его к каноническому разложению на простые множители.
Исходное выражение: $p = 2^3 + 2^4 + 2^5$.
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^3$:
$p = 2^3 \cdot (1 + 2^{4-3} + 2^{5-3}) = 2^3 \cdot (1 + 2^1 + 2^2)$.
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$1 + 2 + 4 = 7$.
Таким образом, мы получили разложение числа $p$ на простые множители:
$p = 2^3 \cdot 7$.
Любой натуральный делитель числа $p$ будет иметь вид $2^a \cdot 7^b$, где показатель степени $a$ может принимать целые значения от 0 до 3, а показатель степени $b$ — целые значения от 0 до 1.
Перечислим все возможные комбинации степеней для нахождения делителей:
$d_1 = 2^0 \cdot 7^0 = 1 \cdot 1 = 1$
$d_2 = 2^1 \cdot 7^0 = 2 \cdot 1 = 2$
$d_3 = 2^2 \cdot 7^0 = 4 \cdot 1 = 4$
$d_4 = 2^3 \cdot 7^0 = 8 \cdot 1 = 8$
$d_5 = 2^0 \cdot 7^1 = 1 \cdot 7 = 7$
$d_6 = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$
$d_7 = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$
$d_8 = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$
Запишем все найденные делители в порядке возрастания.
Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.