Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. Мама дала сыну 100 р. и попросила купить 5 булочек по $t$ р. Мальчик получил сдачу $y$ р. Задайте формулой зависимость

y от t: $y = 100 - 5t$

Какова область определения полученной линейной функции?

Ответ: $0 < t \le 20$

Задайте формулой зависимость y от t:

Исходные данные:
- Сумма денег у мальчика: 100 р.
- Количество булочек для покупки: 5 штук.
- Цена одной булочки: $t$ р.
- Сдача: $y$ р.

Сначала найдем общую стоимость покупки. Стоимость 5 булочек по цене $t$ рублей за каждую составляет $5 \cdot t$ рублей.
Сдача $y$ — это разница между суммой, которую мама дала сыну, и общей стоимостью покупки.
Следовательно, формула зависимости сдачи $y$ от цены $t$ выглядит так:

$y = 100 - 5t$

Ответ: $y = 100 - 5t$

Какова область определения полученной линейной функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной, в нашем случае — цены $t$.
При определении этого множества нужно учесть физический смысл задачи:
1. Цена $t$ не может быть отрицательной величиной, поэтому $t \ge 0$.
2. Стоимость покупки не может превышать имеющуюся сумму денег. Это также означает, что сдача $y$ не может быть отрицательной, то есть $y \ge 0$.

Подставим в неравенство $y \ge 0$ полученную нами формулу:
$100 - 5t \ge 0$

Теперь решим это неравенство относительно $t$:
$100 \ge 5t$
Разделим обе части неравенства на 5:
$20 \ge t$, что то же самое, что и $t \le 20$.

Итак, мы имеем два условия для $t$: $t \ge 0$ и $t \le 20$.
Объединив их, получаем область определения для переменной $t$: $0 \le t \le 20$.
В виде числового промежутка это записывается как отрезок.

Ответ: $[0; 20]$

7. Токарь должен был выточить за смену 40 деталей. Однако он перевыполнил план на $x\%$, выточив $y$ деталей. Составьте формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$: $y = 40 + \frac{40x}{100}$

Пусть плановое количество деталей равно $P$. По условию, $P = 40$ деталей.

Токарь перевыполнил план на $x\%$. Это означает, что он изготовил плановое количество деталей плюс еще $x\%$ от планового количества.

Найдем, сколько деталей составляет $x\%$ от плана. Для этого нужно плановое количество умножить на процент, выраженный в виде дроби:
Количество деталей, изготовленных сверх плана = $40 \cdot \frac{x}{100}$.

Упростим это выражение:
$40 \cdot \frac{x}{100} = \frac{40x}{100} = \frac{4x}{10} = 0.4x$.

Общее количество изготовленных деталей $y$ — это сумма плановых деталей и деталей, изготовленных сверх плана:
$y = \text{план} + \text{сверх плана}$
$y = 40 + 0.4x$.

Таким образом, мы получили формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$.
Ответ: $y = 40 + 0.4x$

8. Линейные функции заданы формулами $y_1 = 16x - 5$ и $y_2 = 8x + 4$. Заполните таблицу:

x -2 -1 -0,5 0 1,5 2 4

$y_1$ 19

$y_2$ 16

$y_1 = 16 \cdot 1,5 - 5 = 24 - 5 = 19;$

$y_2 = 8 \cdot 1,5 + 4 = 12 + 4 = 16$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно подставлять каждое значение x из верхней строки таблицы в формулы для y₁ и y₂.

Исходные формулы линейных функций:

$y_1 = 16x - 5$

$y_2 = 8x + 4$

Произведем вычисления для каждого значения x.

Для x = -2:

Подставляем $x = -2$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot (-2) - 5 = -32 - 5 = -37$

$y_2 = 8 \cdot (-2) + 4 = -16 + 4 = -12$

Ответ: При $x = -2$, $y_1 = -37$, $y_2 = -12$.

Для x = -1:

Подставляем $x = -1$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot (-1) - 5 = -16 - 5 = -21$

$y_2 = 8 \cdot (-1) + 4 = -8 + 4 = -4$

Ответ: При $x = -1$, $y_1 = -21$, $y_2 = -4$.

Для x = -0,5:

Подставляем $x = -0,5$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot (-0,5) - 5 = -8 - 5 = -13$

$y_2 = 8 \cdot (-0,5) + 4 = -4 + 4 = 0$

Ответ: При $x = -0,5$, $y_1 = -13$, $y_2 = 0$.

Для x = 0:

Подставляем $x = 0$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

$y_2 = 8 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4$

Ответ: При $x = 0$, $y_1 = -5$, $y_2 = 4$.

Для x = 2:

Подставляем $x = 2$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot 2 - 5 = 32 - 5 = 27$

$y_2 = 8 \cdot 2 + 4 = 16 + 4 = 20$

Ответ: При $x = 2$, $y_1 = 27$, $y_2 = 20$.

Для x = 4:

Подставляем $x = 4$ в каждую формулу:

$y_1 = 16 \cdot 4 - 5 = 64 - 5 = 59$

$y_2 = 8 \cdot 4 + 4 = 32 + 4 = 36$

Ответ: При $x = 4$, $y_1 = 59$, $y_2 = 36$.

Значения для $x=1,5$ уже даны в условии: $y_1 = 19$ и $y_2 = 16$.

Теперь мы можем заполнить всю таблицу:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

9. Дана функция $y=\frac{1}{3}x-4$. Задайте формулой какую-либо линейную функцию, график которой:

а) параллелен графику данной функции:

б) пересекает график данной функции:

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $b$ – это свободный член (отвечает за сдвиг прямой вдоль оси OY и показывает точку пересечения с этой осью).

Данная в задаче функция: $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Для этой функции угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, а свободный член $b = -4$.

а) параллелен графику данной функции:

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. То есть, для искомой функции $y_1 = k_1x + b_1$ угловой коэффициент $k_1$ должен быть равен угловому коэффициенту данной функции $k = \frac{1}{3}$.

При этом, чтобы прямые не совпадали, их свободные члены должны быть различны, то есть $b_1 \neq b$. В нашем случае $b = -4$, значит $b_1$ может быть любым числом, кроме -4.

Таким образом, формула искомой функции будет иметь вид $y = \frac{1}{3}x + b_1$, где $b_1 \neq -4$.

Выберем любое подходящее значение для $b_1$, например, $b_1 = 5$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + 5$.

б) пересекает график данной функции:

Условием пересечения двух прямых является различие их угловых коэффициентов. То есть, для искомой функции $y_2 = k_2x + b_2$ угловой коэффициент $k_2$ не должен быть равен угловому коэффициенту данной функции $k = \frac{1}{3}$.

Свободный член $b_2$ при этом может быть любым числом.

Таким образом, формула искомой функции будет иметь вид $y = k_2x + b_2$, где $k_2 \neq \frac{1}{3}$.

Выберем любое значение для $k_2$, отличное от $\frac{1}{3}$, например, $k_2 = 2$. Значение $b_2$ может быть любым, например, $b_2 = 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$.

1. Выполните разложение многочлена на множители:

a) $a^4 + ab^3 - 5a - 5b = (a^4 + ab^3) - (5a + 5b) = a(a^3 + b^3) - 5(a + b) =$

$= a(a + b)(a^2 - ab + b^2) - 5(a + b) = \dots$

б) $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b = (3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b) = \dots$

в) $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a = (6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a) = \dots$

г) $x^4 + x^3y - 3x - 3y = (x^4 + x^3y) - (3x + 3y) = \dots$

а) $a^4 + ab^3 - 5a - 5b$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(a^4 + ab^3) - (5a + 5b)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a$, во второй — $5$.

$a(a^3 + b^3) - 5(a + b)$

Выражение в первой скобке представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$a(a+b)(a^2-ab+b^2) - 5(a+b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a+b)$, который мы можем вынести за скобки.

$(a+b)(a(a^2-ab+b^2) - 5)$

Чтобы получить окончательный ответ, раскроем скобки внутри второго множителя.

$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-5)$

Ответ: $(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-5)$.

б) $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами, чтобы упростить дальнейшее разложение.

$(3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $3$, из второй — $5$.

$3(a^2 - b^2) + 5(a - b)$

В первой скобке мы получили разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$3(a-b)(a+b) + 5(a-b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, вынесем его за скобки.

$(a-b)(3(a+b) + 5)$

Раскроем скобки во втором множителе для получения конечного вида.

$(a-b)(3a+3b+5)$

Ответ: $(a-b)(3a+3b+5)$.

в) $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a$

Сгруппируем слагаемые с общими коэффициентами. Обратите внимание на знаки при вынесении минуса за скобку.

$(6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой — $6$, из второй — $7$.

$6(b^2 - a^2) - 7(b - a)$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ для выражения в первой скобке.

$6(b-a)(b+a) - 7(b-a)$

Вынесем общий множитель $(b-a)$ за скобки.

$(b-a)(6(b+a) - 7)$

Раскроем внутренние скобки и упорядочим слагаемые для финального ответа.

$(b-a)(6a+6b-7)$

Ответ: $(b-a)(6a+6b-7)$.

г) $x^4 + x^3y - 3x - 3y$

Сгруппируем попарно первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(x^4 + x^3y) - (3x + 3y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы — $x^3$, из второй — $3$.

$x^3(x+y) - 3(x+y)$

Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(x+y)$ за скобки.

$(x+y)(x^3-3)$

Ответ: $(x+y)(x^3-3)$.

2. Известно, что $a+b=12$ при некоторых значениях переменных a и b. Чему равно при тех же значениях a и b значение многочлена:

а) $-11a - 11b = \text{...............}$

б) $3a^2 + 6ab + 3b^2 = \text{...............}$

в) $-10a^2 - 10b^2 - 20ab = \text{...............}$

Ответ: а) ............... б) ............... в) ...............

Дано, что $a + b = 12$. Мы будем использовать это равенство для нахождения значений каждого многочлена, преобразуя их таким образом, чтобы можно было подставить известное значение суммы.

а) $-11a - 11b$

В этом выражении можно вынести общий множитель $-11$ за скобки. Это позволит нам сгруппировать переменные $a$ и $b$.
$-11a - 11b = -11(a + b)$
Теперь, зная что $a + b = 12$, подставляем это значение в полученное выражение:
$-11 \times 12 = -132$
Ответ: -132

б) $3a^2 + 6ab + 3b^2$

Сначала вынесем общий множитель $3$ за скобки:
$3a^2 + 6ab + 3b^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы: $(a+b)^2$.
Следовательно, мы можем переписать выражение как:
$3(a + b)^2$
Подставляем известное значение $a + b = 12$:
$3 \times (12)^2 = 3 \times 144 = 432$
Ответ: 432

в) $-10a^2 - 10b^2 - 20ab$

Сначала перегруппируем члены многочлена для удобства и вынесем общий множитель $-10$ за скобки:
$-10a^2 - 20ab - 10b^2 = -10(a^2 + 2ab + b^2)$
Как и в предыдущем пункте, выражение в скобках является формулой квадрата суммы $(a+b)^2$.
Таким образом, выражение преобразуется в:
$-10(a + b)^2$
Подставляем значение $a + b = 12$:
$-10 \times (12)^2 = -10 \times 144 = -1440$
Ответ: -1440

3. Разложите многочлен на множители:

a) $a^3 - 7a^2 - 3a + 21 =$

б) $3x^4 - 8x^3 + 12x - 32 =$

в) $a^5 - 6a^4 + a^3 - 6a^2 =$

г) $11x^7 - 11x^6 + 6x^5 - 6x^4 =$

а) $a^3 - 7a^2 - 3a + 21$

Для разложения данного многочлена на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 - 7a^2) + (-3a + 21)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^2$, а во второй группе вынесем $-3$:

$a^2(a - 7) - 3(a - 7)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - 7)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 7)(a^2 - 3)$

Ответ: $(a - 7)(a^2 - 3)$.

б) $3x^4 - 8x^3 + 12x - 32$

Используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^4 - 8x^3) + (12x - 32)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^3$, а во второй группе вынесем $4$:

$x^3(3x - 8) + 4(3x - 8)$

Общий множитель $(3x - 8)$ выносим за скобки:

$(3x - 8)(x^3 + 4)$

Ответ: $(3x - 8)(x^3 + 4)$.

в) $a^5 - 6a^4 + a^3 - 6a^2$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов многочлена. Это $a^2$:

$a^2(a^3 - 6a^2 + a - 6)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки:

$a^2((a^3 - 6a^2) + (a - 6))$

Вынесем общие множители из каждой группы внутри скобок: $a^2$ из первой и $1$ из второй:

$a^2(a^2(a - 6) + 1(a - 6))$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 6)$:

$a^2(a - 6)(a^2 + 1)$

Ответ: $a^2(a - 6)(a^2 + 1)$.

г) $11x^7 - 11x^6 + 6x^5 - 6x^4$

Сначала вынесем за скобки общий множитель $x^4$:

$x^4(11x^3 - 11x^2 + 6x - 6)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки:

$x^4((11x^3 - 11x^2) + (6x - 6))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $11x^2$ из первой и $6$ из второй:

$x^4(11x^2(x - 1) + 6(x - 1))$

Вынесем за скобки общий множитель $(x - 1)$:

$x^4(x - 1)(11x^2 + 6)$

Ответ: $x^4(x - 1)(11x^2 + 6)$.