Номер 1, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

34. Применение различных способов для разложения на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 1, страница 67.

Условие.

1. Выполните разложение многочлена на множители:

a) $a^4 + ab^3 - 5a - 5b = (a^4 + ab^3) - (5a + 5b) = a(a^3 + b^3) - 5(a + b) =$

$= a(a + b)(a^2 - ab + b^2) - 5(a + b) = \dots$

б) $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b = (3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b) = \dots$

в) $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a = (6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a) = \dots$

г) $x^4 + x^3y - 3x - 3y = (x^4 + x^3y) - (3x + 3y) = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $a^4 + ab^3 - 5a - 5b$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(a^4 + ab^3) - (5a + 5b)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a$, во второй — $5$.

$a(a^3 + b^3) - 5(a + b)$

Выражение в первой скобке представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$a(a+b)(a^2-ab+b^2) - 5(a+b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a+b)$, который мы можем вынести за скобки.

$(a+b)(a(a^2-ab+b^2) - 5)$

Чтобы получить окончательный ответ, раскроем скобки внутри второго множителя.

$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-5)$

Ответ: $(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-5)$.

б) $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами, чтобы упростить дальнейшее разложение.

$(3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $3$, из второй — $5$.

$3(a^2 - b^2) + 5(a - b)$

В первой скобке мы получили разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$3(a-b)(a+b) + 5(a-b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, вынесем его за скобки.

$(a-b)(3(a+b) + 5)$

Раскроем скобки во втором множителе для получения конечного вида.

$(a-b)(3a+3b+5)$

Ответ: $(a-b)(3a+3b+5)$.

в) $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a$

Сгруппируем слагаемые с общими коэффициентами. Обратите внимание на знаки при вынесении минуса за скобку.

$(6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой — $6$, из второй — $7$.

$6(b^2 - a^2) - 7(b - a)$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ для выражения в первой скобке.

$6(b-a)(b+a) - 7(b-a)$

Вынесем общий множитель $(b-a)$ за скобки.

$(b-a)(6(b+a) - 7)$

Раскроем внутренние скобки и упорядочим слагаемые для финального ответа.

$(b-a)(6a+6b-7)$

Ответ: $(b-a)(6a+6b-7)$.

г) $x^4 + x^3y - 3x - 3y$

Сгруппируем попарно первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(x^4 + x^3y) - (3x + 3y)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы — $x^3$, из второй — $3$.

$x^3(x+y) - 3(x+y)$

Теперь вынесем общий для обеих групп множитель $(x+y)$ за скобки.

$(x+y)(x^3-3)$

Ответ: $(x+y)(x^3-3)$.