Номер 10, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 10, страница 65.

Условие.

10. Докажите, что значение выражения

$(8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2$

не зависит от $b$.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной b, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения все слагаемые, содержащие переменную b, сократятся, и останется только постоянное число, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $(8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2$.

Упростим его по частям.

1. Раскроем скобки в первой части выражения: $(8b + 13)(4b^2 + 1)$.

Используем правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(8b + 13)(4b^2 + 1) = 8b \cdot 4b^2 + 8b \cdot 1 + 13 \cdot 4b^2 + 13 \cdot 1 = 32b^3 + 8b + 52b^2 + 13$.

Запишем результат в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13$.

2. Упростим вторую часть выражения: $(8b - 3)(2b + 2)^2$.

Сначала возведем в квадрат двучлен $(2b + 2)^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$:

$(2b + 2)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 2 + 2^2 = 4b^2 + 8b + 4$.

Теперь умножим многочлен $(8b - 3)$ на полученный результат $(4b^2 + 8b + 4)$:

$(8b - 3)(4b^2 + 8b + 4) = 8b(4b^2 + 8b + 4) - 3(4b^2 + 8b + 4)$

$= (32b^3 + 64b^2 + 32b) - (12b^2 + 24b + 12)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$32b^3 + 64b^2 + 32b - 12b^2 - 24b - 12 = 32b^3 + (64-12)b^2 + (32-24)b - 12 = 32b^3 + 52b^2 + 8b - 12$.

3. Вычтем вторую упрощенную часть из первой.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(32b^3 + 52b^2 + 8b + 13) - (32b^3 + 52b^2 + 8b - 12)$.

Раскроем скобки, меняя знаки второго выражения на противоположные:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13 - 32b^3 - 52b^2 - 8b + 12$.

Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:

$(32b^3 - 32b^3) + (52b^2 - 52b^2) + (8b - 8b) + (13 + 12) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате всех преобразований мы получили число 25, которое не зависит от значения переменной b. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: значение выражения равно 25, оно не зависит от b.