Номер 14, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 66.

Условие.

14. Выясните, при каком значении p трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ принимает наименьшее значение и чему равно это значение.

.........................

.........................

Ответ: наименьшее значение равно ......................, трёхчлен принимает наименьшее значение при $p =$ ...................... .

Решение.

Решение 2.

Данный трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ представляет собой квадратичную функцию от переменной $p$, то есть $f(p) = p^2 + 6p + 1$. Графиком такой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $p^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти координаты вершины (а следовательно, наименьшее значение и соответствующее ему значение $p$), воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Вспомним формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Преобразуем наш трёхчлен:

$p^2 + 6p + 1 = (p^2 + 2 \cdot p \cdot 3) + 1$

Чтобы получить полный квадрат $(p+3)^2 = p^2 + 6p + 9$, нам необходимо прибавить и отнять $3^2=9$. Это не изменит значение исходного выражения.

$p^2 + 6p + 1 = (p^2 + 6p + 9) - 9 + 1$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(p^2 + 6p + 9) - 9 + 1 = (p + 3)^2 - 8$

Мы получили выражение $(p + 3)^2 - 8$. Проанализируем его. Слагаемое $(p + 3)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(p + 3)^2 \ge 0$. Его наименьшее возможное значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$p + 3 = 0$, откуда $p = -3$.

При $p = -3$, значение всего трёхчлена будет наименьшим и составит:

$(-3 + 3)^2 - 8 = 0^2 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение равно -8, трёхчлен принимает наименьшее значение при p = -3.