Номер 13, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 66.

Условие.

13. Докажите, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то получится квадрат натурального числа.

Указание. В произведении четырёх последовательных натуральных чисел перемножьте попарно два крайних множителя и два средних.

Решение.

Решение 2.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, где $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n$ — натуральное число, $n \ge 1$).

Рассмотрим выражение, которое представляет собой произведение этих чисел, к которому прибавлена единица:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Следуя указанию, сгруппируем множители: перемножим первый с четвертым и второй с третьим.

$(n(n+3)) \cdot ((n+1)(n+2)) + 1$

Раскроем скобки в каждой группе:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для упрощения дальнейших преобразований введем замену переменной. Пусть $t = n^2 + 3n$. Тогда наше выражение примет вид:

$t(t+2) + 1$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$t^2 + 2t + 1$

Это выражение является формулой сокращенного умножения, а именно полным квадратом суммы:

$t^2 + 2t + 1 = (t+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его значение $n^2 + 3n$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

Мы показали, что исходное выражение равно квадрату числа $(n^2 + 3n + 1)$. Осталось убедиться, что это число является натуральным. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n^2$ также является натуральным числом, и $3n$ является натуральным числом. Сумма натуральных чисел $n^2 + 3n$ — это натуральное число. Прибавляя к натуральному числу единицу, мы снова получаем натуральное число. Следовательно, $n^2 + 3n + 1$ — натуральное число для любого натурального $n$.

Таким образом, мы доказали, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то получится квадрат натурального числа. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырех последовательных натуральных чисел плюс единица равно $(n^2+3n+1)^2$, где $n$ — первое из этих чисел. Так как $n$ является натуральным числом, то и $n^2+3n+1$ является натуральным числом.