Номер 11, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 65.

Условие.

11. Решите уравнение:

a) $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p + 8)(p - 8) = 3(p + 5)^2 + 22;$

б) $3(m + 1)(m - 1) - 4(2 + 1,5m)(1,5m - 2) + 6m(m - 1) = 31.$

Решение.

Решение 2.

а)

Решим уравнение $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p+8)(p-8) = 3(p+5)^2 + 22$.
Для этого сначала раскроем все скобки, применяя формулы сокращенного умножения.

Левая часть:
Выражение $(p+8)(p-8)$ является разностью квадратов: $(p+8)(p-8) = p^2 - 8^2 = p^2 - 64$.
Раскрываем скобки: $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p^2 - 64) = 7p^2 + 70p + 161 - 4p^2 + 256$.
Приводим подобные слагаемые: $(7p^2 - 4p^2) + 70p + (161 + 256) = 3p^2 + 70p + 417$.

Правая часть:
Выражение $(p+5)^2$ является квадратом суммы: $(p+5)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 5 + 5^2 = p^2 + 10p + 25$.
Раскрываем скобки: $3(p^2 + 10p + 25) + 22 = 3p^2 + 30p + 75 + 22$.
Приводим подобные слагаемые: $3p^2 + 30p + (75 + 22) = 3p^2 + 30p + 97$.

Приравниваем упрощенные части уравнения: $3p^2 + 70p + 417 = 3p^2 + 30p + 97$.
Вычтем $3p^2$ из обеих частей уравнения: $70p + 417 = 30p + 97$.
Перенесем слагаемые с переменной $p$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $70p - 30p = 97 - 417$
$40p = -320$
$p = \frac{-320}{40}$
$p = -8$.
Ответ: $p = -8$.

б)

Решим уравнение $3(m+1)(m-1) - 4(2+1.5m)(1.5m-2) + 6m(m-1) = 31$.
Раскроем скобки в левой части.

Первое слагаемое $3(m+1)(m-1)$ преобразуем по формуле разности квадратов: $3(m^2 - 1^2) = 3m^2 - 3$.

Второе слагаемое $-4(2+1.5m)(1.5m-2)$ также содержит разность квадратов, если поменять множители в первой скобке местами: $-4(1.5m+2)(1.5m-2) = -4((1.5m)^2 - 2^2) = -4(2.25m^2 - 4) = -9m^2 + 16$.

Третье слагаемое $6m(m-1)$ раскроем путем умножения: $6m(m-1) = 6m^2 - 6m$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $(3m^2 - 3) + (-9m^2 + 16) + (6m^2 - 6m) = 31$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $(3m^2 - 9m^2 + 6m^2) - 6m + (-3 + 16) = 31$
$0 \cdot m^2 - 6m + 13 = 31$
$-6m + 13 = 31$.

Решим полученное линейное уравнение: $-6m = 31 - 13$
$-6m = 18$
$m = \frac{18}{-6}$
$m = -3$.
Ответ: $m = -3$.