Номер 6, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 6, страница 63.

Условие.

6. Преобразуйте в многочлен сумму многочлена $x^4 - x^2 + 1$ и произведения многочленов $1 - x^2$ и $x^2 + 1$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы преобразовать данное выражение в многочлен, необходимо составить математическое выражение, соответствующее условию, а затем упростить его. Условие требует сложить многочлен $x^4 - x^2 + 1$ с произведением многочленов $1 - x^2$ и $x^2 + 1$.

Запишем исходное выражение: $$(x^4 - x^2 + 1) + (1 - x^2)(x^2 + 1)$$

Первым шагом вычислим произведение $(1 - x^2)(x^2 + 1)$. Для удобства можно поменять множители местами и переставить слагаемые во втором множителе: $(1 + x^2)(1 - x^2)$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=x^2$: $$(1 - x^2)(1 + x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $$(x^4 - x^2 + 1) + (1 - x^4)$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Подобными являются $x^4$ и $-x^4$, а также $1$ и $1$. $$x^4 - x^2 + 1 + 1 - x^4 = (x^4 - x^4) - x^2 + (1 + 1)$$

Выполним вычисления: $$0 - x^2 + 2 = -x^2 + 2$$

Итоговый многочлен в стандартном виде (сначала слагаемые с переменной в порядке убывания степени, затем свободный член) - это $-x^2 + 2$. Его также можно записать как $2 - x^2$.

Ответ: $2 - x^2$.