Номер 9, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

33. Преобразование целого выражения в многочлен. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 64.

Условие.

9. Докажите тождество:

$(16x^4 - 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy).$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать обе его части к одному и тому же виду. Однако, предварительная проверка показывает, что в условии задачи, скорее всего, содержится опечатка.

1. Преобразование правой части (ПЧ)

Рассмотрим правую часть равенства:

$ПЧ = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$

Сгруппируем множители, чтобы применить формулы суммы и разности кубов:

$ПЧ = [(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)] \cdot [(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)]$

Первая группа множителей соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3$

Вторая группа множителей соответствует формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 2x$ и $b = y$:

$(2x - y)((2x)^2 + (2x)y + y^2) = (2x)^3 - y^3 = 8x^3 - y^3$

Перемножим полученные выражения, используя формулу разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$:

$ПЧ = (8x^3 + y^3)(8x^3 - y^3) = (8x^3)^2 - (y^3)^2 = 64x^6 - y^6$

2. Преобразование левой части (ЛЧ)

Рассмотрим левую часть равенства в её исходном виде:

$ЛЧ = (16x^4 - 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = 16x^4 \cdot 4x^2 - 16x^4 \cdot y^2 - 4x^2y^2 \cdot 4x^2 + 4x^2y^2 \cdot y^2 + y^4 \cdot 4x^2 - y^4 \cdot y^2$

$ЛЧ = 64x^6 - 16x^4y^2 - 16x^4y^2 + 4x^2y^4 + 4x^2y^4 - y^6$

$ЛЧ = 64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6$

3. Сравнение и вывод

Сравнивая результаты, мы видим, что $ЛЧ \neq ПЧ$:

$64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6 \neq 64x^6 - y^6$

Это означает, что исходное равенство не является тождеством. Наиболее вероятной является опечатка в знаке первого множителя левой части. Докажем исправленное тождество.

4. Доказательство исправленного тождества

Предположим, что тождество должно выглядеть так:

$(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$

Правая часть, как мы уже установили, равна $64x^6 - y^6$.

Преобразуем исправленную левую часть, используя формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Пусть $A = 4x^2$ и $B = y^2$. Тогда:

$A - B = 4x^2 - y^2$

$A^2 + AB + B^2 = (4x^2)^2 + (4x^2)(y^2) + (y^2)^2 = 16x^4 + 4x^2y^2 + y^4$

Таким образом, исправленная левая часть равна:

$ЛЧ_{испр} = (A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3 = (4x^2)^3 - (y^2)^3 = 64x^6 - y^6$

Поскольку теперь обе части равны $64x^6 - y^6$, исправленное тождество доказано.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством из-за вероятной опечатки в условии. Левая часть равна $64x^6 - 32x^4y^2 + 8x^2y^4 - y^6$, а правая — $64x^6 - y^6$. Если исправить знак в первом множителе левой части на "+", тождество $(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$ становится верным, так как обе его части равны $64x^6 - y^6$.