Номер 14, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 62.

Условие.

14. Докажите, что:

а) значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23;

б) значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23, преобразуем данное выражение, используя свойства степеней.

Сначала представим $2^6$ в виде степени с показателем 3. Для этого воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^6 = (2^2)^3 = 4^3$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$6^3 \cdot 2^6 - 1 = 6^3 \cdot 4^3 - 1$

Далее применим свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$6^3 \cdot 4^3 - 1 = (6 \cdot 4)^3 - 1 = 24^3 - 1$

Полученное выражение представляет собой разность кубов $a^3 - b^3$. Применим формулу сокращенного умножения $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=24$ и $b=1$:

$24^3 - 1^3 = (24 - 1)(24^2 + 24 \cdot 1 + 1^2) = 23 \cdot (576 + 24 + 1) = 23 \cdot 601$

Так как в результате преобразований мы получили произведение, в котором один из множителей равен 23, то всё выражение делится на 23 без остатка.

Ответ: доказано, что значение выражения кратно 23.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21, выполним аналогичные преобразования.

Сначала сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$5^3 \cdot 6^3 = (5 \cdot 6)^3 = 30^3$

Затем представим $3^6$ как степень с показателем 3:

$3^6 = (3^2)^3 = 9^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать в следующем виде:

$30^3 - 9^3$

Это также является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=30$ и $b=9$:

$30^3 - 9^3 = (30 - 9)(30^2 + 30 \cdot 9 + 9^2) = 21 \cdot (900 + 270 + 81) = 21 \cdot 1251$

Поскольку в результате преобразований мы получили произведение, в котором один из множителей равен 21, то всё выражение делится на 21 без остатка.

Ответ: доказано, что значение выражения кратно 21.