Страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Двигаясь со скоростью $v \text{ км/ч}$ в течение $5 \text{ ч}$, велосипедист проехал $s \text{ км}$. Задайте формулой зависимость $s$ от $v$:

Пользуясь этой формулой, найдите:

a) $s$, если $v=15$;

б) $v$, если $s=60$.

Ответ:

a) $s = \ldots$

б) $v = \ldots$

Для того чтобы выразить зависимость расстояния $s$ от скорости $v$, воспользуемся стандартной физической формулой, связывающей расстояние, скорость и время:
$s = v \cdot t$
где $s$ – это расстояние, $v$ – это скорость, а $t$ – это время.

По условию задачи, велосипедист двигался в течение $t = 5$ часов. Подставим это значение в формулу:
$s = v \cdot 5$
Для удобства записи, числовой множитель принято ставить перед буквенным. Таким образом, итоговая формула зависимости расстояния $s$ от скорости $v$ выглядит следующим образом:
$s = 5v$

Теперь воспользуемся полученной формулой для решения подпунктов задачи.

а) Найдём расстояние $s$, если известно, что скорость велосипедиста $v = 15$ км/ч. Для этого подставим значение $v$ в нашу формулу:
$s = 5 \cdot 15$
$s = 75$
Следовательно, расстояние, которое проехал велосипедист, составляет 75 км.
Ответ: $s = 75$.

б) Найдём скорость $v$, если известно, что пройденное расстояние $s = 60$ км. Подставим значение $s$ в формулу:
$60 = 5v$
Чтобы найти неизвестный множитель $v$, необходимо произведение (60) разделить на известный множитель (5):
$v = \frac{60}{5}$
$v = 12$
Следовательно, скорость велосипедиста была равна 12 км/ч.
Ответ: $v = 12$.

5. Прямая пропорциональность

задана формулой $y = -\frac{1}{5}x$. Заполните таблицу:

x, -3, -2,5, -0,5, 0, 1, 4

y, 0,6, , , , ,

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки вычислить соответствующее значение y, используя заданную формулу прямой пропорциональности $y = -\frac{1}{5}x$.

Для удобства вычислений можно представить коэффициент $-\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби: $-\frac{1}{5} = -0,2$. Таким образом, формула для расчетов примет вид $y = -0,2x$.

Проверим уже заполненную пару значений: при $x = -3$, $y = -0,2 \cdot (-3) = 0,6$. Значение в таблице верное. Теперь вычислим недостающие значения y.

Для x = -2,5: подставим это значение в формулу и вычислим y. $y = -0,2 \cdot (-2,5) = 0,5$.
Ответ: 0,5.

Для x = -0,5: подставим это значение в формулу. $y = -0,2 \cdot (-0,5) = 0,1$.
Ответ: 0,1.

Для x = 0: подставим это значение в формулу. $y = -0,2 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

Для x = 1: подставим это значение в формулу. $y = -0,2 \cdot 1 = -0,2$.
Ответ: -0,2.

Для x = 4: подставим это значение в формулу. $y = -0,2 \cdot 4 = -0,8$.
Ответ: -0,8.

Теперь внесем все полученные значения в таблицу.

6. Длина участка, имеющего форму прямоугольника, равна $a$ м, а его ширина 30 м. Задайте формулой зависимость площади участка $S \text{ м}^2$ от его длины:

При каком значении длины участка его площадь равна $1200 \text{ м}^2$?

Задайте формулой зависимость площади участка S м² от его длины:

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину. Общая формула: $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$.

По условию задачи, длина участка равна $a$ м, а его ширина составляет 30 м.

Чтобы задать зависимость площади $S$ от длины $a$, подставим известные значения в формулу:

$S = a \cdot 30$

Таким образом, формула зависимости площади от длины имеет вид: $S = 30a$.

Ответ: $S = 30a$.

При каком значении длины участка его площадь равна 1200 м²?

Мы используем выведенную ранее формулу: $S = 30a$.

В условии сказано, что площадь участка $S$ равна 1200 м². Подставим это значение в нашу формулу, чтобы найти длину $a$:

$1200 = 30a$

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Для этого разделим обе части уравнения на 30:

$a = \frac{1200}{30}$

Выполним деление:

$a = 40$

Следовательно, при длине участка 40 м его площадь будет равна 1200 м².

Ответ: 40 м.

7. При каких значениях коэффициента $k$ абсциссы и ординаты точек, принадлежащих графику функции $y = kx$ и отличных от начала координат:

а) имеют одинаковые знаки;

б) имеют разные знаки;

в) равны между собой;

г) являются противоположными числами?

Ответ:

а) $k=$

б) $k=$

в) $k=$

г) $k=$

а) имеют одинаковые знаки;

Мы рассматриваем точки $(x, y)$, принадлежащие графику функции $y = kx$ и отличные от начала координат (то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$).

Условие, что абсцисса $x$ и ордината $y$ имеют одинаковые знаки, означает, что они либо обе положительны ($x > 0, y > 0$), либо обе отрицательны ($x < 0, y < 0$).

Из уравнения функции $y = kx$ для $x \neq 0$ можно выразить коэффициент $k$ как отношение $k = \frac{y}{x}$.

Если $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки, их отношение всегда будет положительным.

• Если $x > 0$ и $y > 0$, то $k = \frac{y}{x} > 0$.
• Если $x < 0$ и $y < 0$, то $k = \frac{y}{x} > 0$.

Таким образом, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $k > 0$. Графически это означает, что прямая $y=kx$ расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: $k > 0$.

б) имеют разные знаки;

Условие, что абсцисса $x$ и ордината $y$ имеют разные знаки, означает, что если одна из них положительна, то другая отрицательна.

• Если $x > 0$, то $y < 0$.
• Если $x < 0$, то $y > 0$.

Рассмотрим отношение $k = \frac{y}{x}$.

Если $x$ и $y$ имеют разные знаки, их отношение всегда будет отрицательным.

• Если $x > 0$ и $y < 0$, то $k = \frac{y}{x} < 0$.
• Если $x < 0$ и $y > 0$, то $k = \frac{y}{x} < 0$.

Следовательно, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $k < 0$. Графически это означает, что прямая $y=kx$ расположена во II и IV координатных четвертях.

Ответ: $k < 0$.

в) равны между собой;

Условие, что абсцисса и ордината равны между собой, означает, что $y = x$.

Подставим это условие в уравнение функции $y = kx$:

$x = kx$

Так как мы рассматриваем точки, отличные от начала координат, то $x \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $x$:

$\frac{x}{x} = \frac{kx}{x}$

$1 = k$

Это условие выполняется только при $k = 1$. Функция в этом случае имеет вид $y = x$ и является биссектрисой I и III координатных углов.

Ответ: $k = 1$.

г) являются противоположными числами?

Условие, что абсцисса и ордината являются противоположными числами, означает, что $y = -x$.

Подставим это условие в уравнение функции $y = kx$:

$-x = kx$

Так как $x \neq 0$, разделим обе части равенства на $x$:

$\frac{-x}{x} = \frac{kx}{x}$

$-1 = k$

Это условие выполняется только при $k = -1$. Функция в этом случае имеет вид $y = -x$ и является биссектрисой II и IV координатных углов.

Ответ: $k = -1$.

8. Задайте формулой функцию, график которой изображён на рисунке.

Ответ:

$y = -x$

На рисунке изображён график линейной функции, который представляет собой прямую линию. Общий вид формулы для такой функции: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (он отвечает за наклон прямой), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Чтобы задать функцию формулой, нам необходимо найти значения коэффициентов $k$ и $b$.

1. Нахождение коэффициента $b$.
Коэффициент $b$ показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат ($y$). Из графика видно, что точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0; 1)$. Следовательно, $b = 1$.

2. Нахождение коэффициента $k$.
Угловой коэффициент $k$ можно вычислить по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, используя координаты двух любых точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, лежащих на прямой. Для удобства выберем точки с целочисленными координатами.
Мы уже знаем одну точку: $(0; 1)$. В качестве второй точки возьмём, например, точку $(1; -1)$, которая также чётко видна на графике.
Подставим координаты этих точек в формулу:
$k = \frac{-1 - 1}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2$.

Теперь, когда мы нашли оба коэффициента ($k = -2$ и $b = 1$), мы можем подставить их в общую формулу линейной функции $y = kx + b$.

Получаем искомую формулу: $y = -2x + 1$.

Ответ: $y = -2x + 1$

13. Разложите на множители:

a) $a^3+a^2-4ab-8b^3+4b^2=$

б) $x^3+2x^2-64y^3+32y^2+8xy=$

а)

Дано выражение: $a^3 + a^2 - 4ab - 8b^3 + 4b^2$.

Для того чтобы разложить выражение на множители, воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было применить формулы сокращенного умножения:

$ (a^3 - 8b^3) + (a^2 - 4ab + 4b^2) $

Первая группа слагаемых, $(a^3 - 8b^3)$, является разностью кубов. Представим $8b^3$ как $(2b)^3$ и применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$ a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + a \cdot 2b + (2b)^2) = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) $

Вторая группа слагаемых, $(a^2 - 4ab + 4b^2)$, является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2 $

Теперь подставим полученные разложения обратно в сгруппированное выражение:

$ (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b)^2 $

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки:

$ (a - 2b) \cdot [ (a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b) ] $

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки:

$ (a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2) $

Ответ: $(a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2)$

б)

Дано выражение: $x^3 + 2x^2 - 64y^3 + 32y^2 + 8xy$.

Для разложения на множители применим метод группировки. Переставим слагаемые, чтобы выделить известные формулы:

$ (x^3 - 64y^3) + (2x^2 + 8xy + 32y^2) $

Первая группа, $(x^3 - 64y^3)$, является разностью кубов. Представим $64y^3$ как $(4y)^3$ и применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$ x^3 - (4y)^3 = (x - 4y)(x^2 + x \cdot 4y + (4y)^2) = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Во второй группе, $(2x^2 + 8xy + 32y^2)$, вынесем общий числовой множитель 2 за скобки:

$ 2(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Подставим полученные выражения обратно в сгруппированную сумму:

$ (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2) + 2(x^2 + 4xy + 16y^2) $

Оба слагаемых содержат общий множитель $(x^2 + 4xy + 16y^2)$. Вынесем его за скобки:

$ (x^2 + 4xy + 16y^2) \cdot [ (x - 4y) + 2 ] $

Упростим выражение во вторых скобках:

$ (x^2 + 4xy + 16y^2)(x - 4y + 2) $

Ответ: $(x - 4y + 2)(x^2 + 4xy + 16y^2)$

14. Докажите, что:

а) значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23;

б) значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23, преобразуем данное выражение, используя свойства степеней.

Сначала представим $2^6$ в виде степени с показателем 3. Для этого воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^6 = (2^2)^3 = 4^3$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$6^3 \cdot 2^6 - 1 = 6^3 \cdot 4^3 - 1$

Далее применим свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$6^3 \cdot 4^3 - 1 = (6 \cdot 4)^3 - 1 = 24^3 - 1$

Полученное выражение представляет собой разность кубов $a^3 - b^3$. Применим формулу сокращенного умножения $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=24$ и $b=1$:

$24^3 - 1^3 = (24 - 1)(24^2 + 24 \cdot 1 + 1^2) = 23 \cdot (576 + 24 + 1) = 23 \cdot 601$

Так как в результате преобразований мы получили произведение, в котором один из множителей равен 23, то всё выражение делится на 23 без остатка.

Ответ: доказано, что значение выражения кратно 23.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21, выполним аналогичные преобразования.

Сначала сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$5^3 \cdot 6^3 = (5 \cdot 6)^3 = 30^3$

Затем представим $3^6$ как степень с показателем 3:

$3^6 = (3^2)^3 = 9^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать в следующем виде:

$30^3 - 9^3$

Это также является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=30$ и $b=9$:

$30^3 - 9^3 = (30 - 9)(30^2 + 30 \cdot 9 + 9^2) = 21 \cdot (900 + 270 + 81) = 21 \cdot 1251$

Поскольку в результате преобразований мы получили произведение, в котором один из множителей равен 21, то всё выражение делится на 21 без остатка.

Ответ: доказано, что значение выражения кратно 21.

1. Упростите выражение:

а) $ (a - 2y)^2 + 4y(a - y) = a^2 - 4ay + 4y^2 + 4ay - 4y^2 = $

б) $ (2m - 3)(2m + 3) - (2m - 1)^2 = $

а) Чтобы упростить выражение $(a - 2y)^2 + 4y(a - y)$, раскроем скобки.
Первый член $(a - 2y)^2$ является квадратом разности. Используем формулу $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$:
$(a - 2y)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2y + (2y)^2 = a^2 - 4ay + 4y^2$
Второй член $4y(a - y)$ раскроем, умножив $4y$ на каждый член в скобках:
$4y(a - y) = 4y \cdot a - 4y \cdot y = 4ay - 4y^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(a^2 - 4ay + 4y^2) + (4ay - 4y^2) = a^2 - 4ay + 4y^2 + 4ay - 4y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (-4ay + 4ay) + (4y^2 - 4y^2) = a^2 + 0 + 0 = a^2$
Ответ: $a^2$

б) Чтобы упростить выражение $(2m - 3)(2m + 3) - (2m - 1)^2$, раскроем скобки в каждом члене.
Первый член $(2m - 3)(2m + 3)$ является разностью квадратов. Используем формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:
$(2m - 3)(2m + 3) = (2m)^2 - 3^2 = 4m^2 - 9$
Второй член $(2m - 1)^2$ является квадратом разности. Используем формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(2m - 1)^2 = (2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot 1 + 1^2 = 4m^2 - 4m + 1$
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(4m^2 - 9) - (4m^2 - 4m + 1)$
Раскроем скобки, изменив знаки второго выражения на противоположные, так как перед ним стоит минус:
$4m^2 - 9 - 4m^2 + 4m - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(4m^2 - 4m^2) + 4m + (-9 - 1) = 0 + 4m - 10 = 4m - 10$
Ответ: $4m - 10$

2. Докажите, что при любом целом m значение выражения $(m+1)(m+3)-(1-7m)(1+7m)-(2-m)$ кратно 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения кратно 5 при любом целом $m$, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $(m+1)(m+3) - (1-7m)(1+7m) - (2-m)$.

Последовательно раскроем скобки. Сначала произведение первых двух скобок:

$(m+1)(m+3) = m \cdot m + m \cdot 3 + 1 \cdot m + 1 \cdot 3 = m^2 + 4m + 3$.

Далее раскроем второе произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(1-7m)(1+7m) = 1^2 - (7m)^2 = 1 - 49m^2$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(m^2 + 4m + 3) - (1 - 49m^2) - (2-m)$.

Раскроем оставшиеся скобки, обращая внимание на знаки:

$m^2 + 4m + 3 - 1 + 49m^2 - 2 + m$.

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(m^2 + 49m^2) + (4m + m) + (3 - 1 - 2)$.

Выполним вычисления в каждой группе:

$50m^2 + 5m + 0 = 50m^2 + 5m$.

Чтобы доказать кратность 5, вынесем общий множитель 5 за скобки:

$50m^2 + 5m = 5(10m^2 + m)$.

По условию, $m$ — целое число. Следовательно, $m^2$ — также целое число. Выражение в скобках, $10m^2 + m$, является суммой произведений целых чисел, а значит, его значение всегда будет целым числом. Если мы обозначим $k = 10m^2 + m$, где $k$ — целое число, то исходное выражение можно записать в виде $5k$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения $5k$, где $k$ — целое, по определению кратно 5. Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 5 при любом целом $m$.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $5(10m^2 + m)$. Так как $m$ — целое число, то выражение $10m^2 + m$ также является целым числом. Произведение числа 5 на целое число всегда кратно 5, что и требовалось доказать.