Страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

II

11. На координатной плоскости постройте график функции $y = \frac{12}{x}$, где $x > 0$, заполнив таблицу значений:

x: 1, 1,5, 2, 3

y:

x: 4, 6, 8, 12

y: 1

Для построения графика функции $y = \frac{12}{x}$ на координатной плоскости, где $x > 0$, сначала необходимо заполнить таблицу значений, вычислив значения y для каждого заданного x.

1. Заполнение таблицы значений

Подставим значения x из таблицы в формулу функции:

• При $x = 1$: $y = \frac{12}{1} = 12$
• При $x = 1,5$: $y = \frac{12}{1,5} = \frac{12}{3/2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$
• При $x = 2$: $y = \frac{12}{2} = 6$
• При $x = 3$: $y = \frac{12}{3} = 4$
• При $x = 4$: $y = \frac{12}{4} = 3$
• При $x = 6$: $y = \frac{12}{6} = 2$
• При $x = 8$: $y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$
• При $x = 12$: $y = \frac{12}{12} = 1$

Заполненная таблица значений:

2. Построение графика функции

Графиком функции $y = \frac{12}{x}$ является гипербола. Поскольку по условию $x > 0$, мы строим только ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти. Для построения графика отметим на координатной плоскости точки, координаты которых мы вычислили в таблице: (1; 12), (1,5; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), (8; 1,5) и (12; 1). Затем соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая будет асимптотически приближаться к осям координат, не пересекая их.

Ответ:

Заполненная таблица значений и построенный на координатной плоскости график функции $y = \frac{12}{x}$ для $x > 0$ представлены выше.

15. Представьте выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители:

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3) = $

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2 = $

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3)$

Сначала раскроем скобки в выражении:

$m^2 - n^2 + 12n - 36$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на члены, содержащие $n$, и свободный член: $-n^2 + 12n - 36$. Вынесем знак минус за скобки:

$-(n^2 - 12n + 36)$

Выражение в скобках, $n^2 - 12n + 36$, является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=n$ и $y=6$. Проверим: $n^2 - 2 \cdot n \cdot 6 + 6^2 = n^2 - 12n + 36$.

Таким образом, $n^2 - 12n + 36 = (n - 6)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$m^2 - (n - 6)^2$

Теперь выражение представлено в виде разности квадратов. Для разложения на множители применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=m$ и $y=(n-6)$.

$(m - (n - 6))(m + (n - 6))$

Раскроем внутренние скобки:

$(m - n + 6)(m + n - 6)$

Ответ: $m^2 - (n-6)^2 = (m - n + 6)(m + n - 6)$.

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2$

Сначала раскроем скобки в выражении:

$a^2 - 11b \cdot 2n - 11b \cdot 11b - n^2 = a^2 - 22bn - 121b^2 - n^2$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Объединим члены, не содержащие $a$, и вынесем за скобки минус:

$a^2 - (n^2 + 22bn + 121b^2)$

Выражение в скобках, $n^2 + 22bn + 121b^2$, является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x=n$ и $y=11b$. Проверим: $n^2 + 2 \cdot n \cdot (11b) + (11b)^2 = n^2 + 22bn + 121b^2$.

Таким образом, $n^2 + 22bn + 121b^2 = (n + 11b)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$a^2 - (n + 11b)^2$

Теперь выражение представлено в виде разности квадратов. Для разложения на множители применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=a$ и $y=(n+11b)$.

$(a - (n + 11b))(a + (n + 11b))$

Раскроем внутренние скобки:

$(a - n - 11b)(a + n + 11b)$

Ответ: $a^2 - (n+11b)^2 = (a - n - 11b)(a + n + 11b)$.

16. Преобразуйте выражение в произведение:

а) $x^{4m} - y^{2n} =$

б) $a^{4n+2} - b^{2n+4} =$

в) $81a^{6n-12} - 49b^{4n-8} =$

г) $0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4} =$

а) $x^{4m} - y^{2n}$

Для того чтобы преобразовать данное выражение в произведение, мы воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член исходного выражения в виде квадрата, используя свойство степени $(a^p)^q = a^{pq}$:
Первый член: $x^{4m} = x^{2 \cdot 2m} = (x^{2m})^2$.
Второй член: $y^{2n} = y^{2 \cdot n} = (y^n)^2$.
Теперь наше выражение принимает вид разности квадратов:
$x^{4m} - y^{2n} = (x^{2m})^2 - (y^n)^2$
Применяя формулу, где $A = x^{2m}$ и $B = y^n$, получаем:
$(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$
Ответ: $(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$

б) $a^{4n+2} - b^{2n+4}$

Это выражение также можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Для этого представим каждый член выражения в виде квадрата. Вынесем 2 за скобки в показателях степеней:
Первый член: $a^{4n+2} = a^{2(2n+1)} = (a^{2n+1})^2$.
Второй член: $b^{2n+4} = b^{2(n+2)} = (b^{n+2})^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$a^{4n+2} - b^{2n+4} = (a^{2n+1})^2 - (b^{n+2})^2$
Теперь применим формулу разности квадратов, где $A = a^{2n+1}$ и $B = b^{n+2}$:
$(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$
Ответ: $(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$

в) $81a^{6n-12} - 49b^{4n-8}$

Воспользуемся той же формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждое слагаемое в виде полного квадрата:
Первый член: $81a^{6n-12} = 9^2 \cdot a^{2(3n-6)} = (9a^{3n-6})^2$.
Второй член: $49b^{4n-8} = 7^2 \cdot b^{2(2n-4)} = (7b^{2n-4})^2$.
Теперь выражение имеет вид разности квадратов:
$(9a^{3n-6})^2 - (7b^{2n-4})^2$
Применим формулу, где $A = 9a^{3n-6}$ и $B = 7b^{2n-4}$:
$(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$
Ответ: $(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$

г) $0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4}$

В данном выражении переменная $y$ присутствует в обоих членах. Первым шагом вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем будет $y$ в наименьшей из двух степеней. Степень $2n-4$ является меньшей или равной степени $4n-6$ (при $n \ge 1$), поэтому вынесем за скобки $y^{2n-4}$.
Для этого представим $y^{4n-6}$ как $y^{(2n-4) + (2n-2)} = y^{2n-4} \cdot y^{2n-2}$.
После вынесения общего множителя выражение принимает вид:
$0,16y^{2n-4} \cdot y^{2n-2} - 0,25y^{2n-4} = y^{2n-4}(0,16y^{2n-2} - 0,25)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках, $0,16y^{2n-2} - 0,25$, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в скобках в виде квадрата:
$0,16y^{2n-2} = (0,4)^2 \cdot y^{2(n-1)} = (0,4y^{n-1})^2$
$0,25 = (0,5)^2$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$(0,4y^{n-1})^2 - (0,5)^2 = (0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$
Соединив все части, получаем итоговое произведение:
$y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$
Ответ: $y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$

1. Преобразуйте в многочлен выражение:

a) $(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)=$

б) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)=$

в) $(2a-7)(4a^2+14a+49)=$

г) $(-1+6m)(1+6m+36m^2)=$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:

• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$
• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$

а) $(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$

Данное выражение соответствует формуле суммы кубов. В нашем случае, $A=x$ и $B=4y$. Второй множитель $(x^2-4xy+16y^2)$ является неполным квадратом разности $x$ и $4y$, так как $x^2 = x^2$, $x \cdot 4y = 4xy$ и $(4y)^2 = 16y^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(x+4y)(x^2-4xy+16y^2) = x^3 + (4y)^3 = x^3 + 64y^3$.

Ответ: $x^3 + 64y^3$

б) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Здесь $A=a$ и $B=3b$. Второй множитель $(a^2+3ab+9b^2)$ является неполным квадратом суммы $a$ и $3b$, поскольку $a^2 = a^2$, $a \cdot 3b = 3ab$ и $(3b)^2 = 9b^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(a-3b)(a^2+3ab+9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$.

Ответ: $a^3 - 27b^3$

в) $(2a-7)(4a^2+14a+49)$

Это выражение также является разностью кубов. В данном случае $A=2a$ и $B=7$. Второй множитель $(4a^2+14a+49)$ является неполным квадратом суммы $2a$ и $7$, так как $(2a)^2 = 4a^2$, $2a \cdot 7 = 14a$ и $7^2 = 49$.

Применяя формулу, получаем:

$(2a-7)(4a^2+14a+49) = (2a)^3 - 7^3 = 8a^3 - 343$.

Ответ: $8a^3 - 343$

г) $(-1+6m)(1+6m+36m^2)$

Для удобства преобразуем выражение. Поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(-1+6m) = (6m-1)$. Упорядочим слагаемые во второй скобке: $(36m^2+6m+1)$. Выражение принимает вид $(6m-1)(36m^2+6m+1)$, что соответствует формуле разности кубов.

Здесь $A=6m$ и $B=1$. Второй множитель является неполным квадратом суммы $6m$ и $1$, так как $(6m)^2 = 36m^2$, $6m \cdot 1 = 6m$ и $1^2 = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$(6m-1)(36m^2+6m+1) = (6m)^3 - 1^3 = 216m^3 - 1$.

Ответ: $216m^3 - 1$