Номер 1, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 1, страница 58.

Условие.

1. Преобразуйте в многочлен выражение:

a) $(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)=$

б) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)=$

в) $(2a-7)(4a^2+14a+49)=$

г) $(-1+6m)(1+6m+36m^2)=$

Решение.

Решение 2.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:

• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$
• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$

а) $(x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$

Данное выражение соответствует формуле суммы кубов. В нашем случае, $A=x$ и $B=4y$. Второй множитель $(x^2-4xy+16y^2)$ является неполным квадратом разности $x$ и $4y$, так как $x^2 = x^2$, $x \cdot 4y = 4xy$ и $(4y)^2 = 16y^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(x+4y)(x^2-4xy+16y^2) = x^3 + (4y)^3 = x^3 + 64y^3$.

Ответ: $x^3 + 64y^3$

б) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Здесь $A=a$ и $B=3b$. Второй множитель $(a^2+3ab+9b^2)$ является неполным квадратом суммы $a$ и $3b$, поскольку $a^2 = a^2$, $a \cdot 3b = 3ab$ и $(3b)^2 = 9b^2$.

Применяя формулу, получаем:

$(a-3b)(a^2+3ab+9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$.

Ответ: $a^3 - 27b^3$

в) $(2a-7)(4a^2+14a+49)$

Это выражение также является разностью кубов. В данном случае $A=2a$ и $B=7$. Второй множитель $(4a^2+14a+49)$ является неполным квадратом суммы $2a$ и $7$, так как $(2a)^2 = 4a^2$, $2a \cdot 7 = 14a$ и $7^2 = 49$.

Применяя формулу, получаем:

$(2a-7)(4a^2+14a+49) = (2a)^3 - 7^3 = 8a^3 - 343$.

Ответ: $8a^3 - 343$

г) $(-1+6m)(1+6m+36m^2)$

Для удобства преобразуем выражение. Поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(-1+6m) = (6m-1)$. Упорядочим слагаемые во второй скобке: $(36m^2+6m+1)$. Выражение принимает вид $(6m-1)(36m^2+6m+1)$, что соответствует формуле разности кубов.

Здесь $A=6m$ и $B=1$. Второй множитель является неполным квадратом суммы $6m$ и $1$, так как $(6m)^2 = 36m^2$, $6m \cdot 1 = 6m$ и $1^2 = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$(6m-1)(36m^2+6m+1) = (6m)^3 - 1^3 = 216m^3 - 1$.

Ответ: $216m^3 - 1$