Номер 12, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 12, страница 56.

Условие.

12. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, отличающихся лишь порядком цифр, делится на 99.

Решение.

Решение 2.

Пусть первое двузначное число можно представить в виде $N_1 = 10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Поскольку число является двузначным, $a$ может быть любой целой цифрой от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — любой целой цифрой от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Второе число, $N_2$, согласно условию, отличается от первого лишь порядком цифр. Следовательно, его можно представить в виде $N_2 = 10b + a$. Чтобы это число также было двузначным, его первая цифра $b$ не должна равняться нулю, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$. Кроме того, числа должны быть разными, что означает $a \neq b$.

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов, $N_1^2 - N_2^2$, делится на 99.

Рассмотрим выражение для разности квадратов:$N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$

Для упрощения этого выражения применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.В нашем случае $x = 10a + b$ и $y = 10b + a$.

Сначала найдем разность этих чисел $(x - y)$:$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

Затем найдем их сумму $(x + y)$:$(10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в формулу разности квадратов:$N_1^2 - N_2^2 = [9(a - b)] \cdot [11(a + b)]$$N_1^2 - N_2^2 = 9 \cdot 11 \cdot (a - b)(a + b) = 99(a - b)(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), их разность $(a - b)$ и сумма $(a + b)$ также являются целыми числами. Следовательно, их произведение $(a - b)(a + b)$ — это целое число.

Таким образом, разность квадратов двух таких чисел всегда равна произведению числа 99 на целое число $k = (a-b)(a+b)$. По определению, любое число, которое можно представить в виде $99 \cdot k$, где $k$ — целое, делится на 99 без остатка.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов двух двузначных чисел, отличающихся лишь порядком цифр, всегда представима в виде $99(a-b)(a+b)$, где $a$ и $b$ — цифры этих чисел. Так как $(a-b)(a+b)$ является целым числом, то вся разность делится на 99.