Номер 3, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 3, страница 59.

Условие.

3. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

а) $x^3 - 8 = $

б) $8a^3 + 1 = $

в) $0,001x^3 - y^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) $x^3 - 8$
Чтобы разложить это выражение на множители, его необходимо представить в виде разности кубов. Мы знаем, что $8 = 2^3$. Таким образом, выражение можно переписать в следующем виде: $x^3 - 2^3$.
Теперь применим формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $a = x$ и $b = 2$. Подставив эти значения в формулу, получаем:
$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Ответ: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

б) $8a^3 + 1$
Представим данное выражение в виде суммы кубов. Слагаемое $8a^3$ можно записать как $(2a)^3$, так как $2^3a^3 = 8a^3$. Число $1$ можно представить как $1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(2a)^3 + 1^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае первый член $a$ равен $2a$, а второй член $b$ равен $1$. Подставляем в формулу:
$(2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)((2a)^2 - (2a) \cdot 1 + 1^2) = (2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.
Ответ: $(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

в) $0.001x^3 - y^3$
Представим выражение в виде разности кубов. Коэффициент $0.001$ является кубом числа $0.1$, так как $0.1^3 = 0.001$. Следовательно, слагаемое $0.001x^3$ можно записать как $(0.1x)^3$. Выражение принимает вид $(0.1x)^3 - y^3$.
Снова применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Здесь $a = 0.1x$ и $b = y$. Подставим эти значения:
$(0.1x)^3 - y^3 = (0.1x - y)((0.1x)^2 + (0.1x) \cdot y + y^2) = (0.1x - y)(0.01x^2 + 0.1xy + y^2)$.
Ответ: $(0.1x - y)(0.01x^2 + 0.1xy + y^2)$.