Номер 7, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 7, страница 60.

Условие.

7. Докажите, что значение выражения:

а) $143^3 + 107^3$ делится на 250;

б) $767^3 - 167^3$ делится на 300.

а) ...................

б) ...................

Решение.

Решение 2.

а)

Для доказательства того, что выражение $143^3 + 107^3$ делится на 250, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 143$ и $b = 107$:

$143^3 + 107^3 = (143 + 107)(143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$

Вычислим значение первого множителя (суммы в скобках):

$143 + 107 = 250$

Теперь исходное выражение можно представить в виде произведения:

$250 \cdot (143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$

Поскольку один из множителей равен 250, а второй множитель $(143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$ является целым числом, то все произведение делится на 250 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $143^3 + 107^3$ делится на 250.

б)

Для доказательства того, что выражение $767^3 - 167^3$ делится на 300, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим формулу к нашему выражению, где $a = 767$ и $b = 167$:

$767^3 - 167^3 = (767 - 167)(767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Вычислим значение первого множителя (разности в скобках):

$767 - 167 = 600$

Тогда выражение примет вид:

$600 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Нам нужно доказать делимость на 300. Представим множитель 600 как $2 \cdot 300$:

$2 \cdot 300 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$

Так как одним из множителей в произведении является число 300, а остальные множители (2 и выражение в скобках) являются целыми числами, то все выражение делится на 300 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $767^3 - 167^3$ делится на 300.