Номер 12, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 12, страница 61.

Условие.

12. Разложите на множители, используя формулы суммы или разности кубов:

а) $x^{3n} - y^{3n} =$

б) $a^{6k} + b^{6k} =$

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3} =$

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6} =$

Решение.

Решение 2.

Для решения данного задания используются формулы разности и суммы кубов.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

a) $x^{3n} - y^{3n}$

Чтобы применить формулу разности кубов, представим каждый член выражения в виде куба. Используем свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$.

$x^{3n} = (x^n)^3$

$y^{3n} = (y^n)^3$

Теперь выражение имеет вид $(x^n)^3 - (y^n)^3$. Применим формулу разности кубов, где $a = x^n$ и $b = y^n$:

$(x^n)^3 - (y^n)^3 = (x^n - y^n)((x^n)^2 + x^n y^n + (y^n)^2) = (x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$.

Ответ: $(x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$.

б) $a^{6k} + b^{6k}$

Представим данное выражение как сумму кубов.

$a^{6k} = (a^{2k})^3$

$b^{6k} = (b^{2k})^3$

Выражение принимает вид $(a^{2k})^3 + (b^{2k})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = a^{2k}$ и $b = b^{2k}$:

$(a^{2k})^3 + (b^{2k})^3 = (a^{2k} + b^{2k})((a^{2k})^2 - a^{2k}b^{2k} + (b^{2k})^2) = (a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$.

Ответ: $(a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$.

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3}$

Для представления выражения в виде суммы кубов, воспользуемся свойствами степеней $a^{m+k} = a^m a^k$ и $a^{mk} = (a^m)^k$.

$c^{3n+3} = c^{3(n+1)} = (c^{n+1})^3$

$d^{3n+3} = d^{3(n+1)} = (d^{n+1})^3$

Выражение принимает вид $(c^{n+1})^3 + (d^{n+1})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = c^{n+1}$ и $b = d^{n+1}$:

$(c^{n+1})^3 + (d^{n+1})^3 = (c^{n+1} + d^{n+1})((c^{n+1})^2 - c^{n+1}d^{n+1} + (d^{n+1})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2(n+1)} - (cd)^{n+1} + d^{2(n+1)}) = (c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - (cd)^{n+1} + d^{2n+2})$.

Ответ: $(c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - (cd)^{n+1} + d^{2n+2})$.

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6}$

Представим выражение как сумму кубов, вынеся общий множитель из показателя степени.

$x^{3k+6} = x^{3(k+2)} = (x^{k+2})^3$

$y^{3k+6} = y^{3(k+2)} = (y^{k+2})^3$

Выражение принимает вид $(x^{k+2})^3 + (y^{k+2})^3$. Применим формулу суммы кубов, где $a = x^{k+2}$ и $b = y^{k+2}$:

$(x^{k+2})^3 + (y^{k+2})^3 = (x^{k+2} + y^{k+2})((x^{k+2})^2 - x^{k+2}y^{k+2} + (y^{k+2})^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2(k+2)} - (xy)^{k+2} + y^{2(k+2)}) = (x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - (xy)^{k+2} + y^{2k+4})$.

Ответ: $(x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - (xy)^{k+2} + y^{2k+4})$.