Номер 11, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

32. Разложение на множители суммы и разности кубов. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 61.

Условие.

11. Докажите, что:

а) значение выражения $27^3 + 23^3$ делится на 5 и не делится на 9;

б) значение выражения $33^3 - 16^3$ делится на 17 и не делится на 11.

Решение.

Решение 2.

а) значение выражения $27^3 + 23^3$ делится на 5 и не делится на 9

Сначала докажем, что значение выражения делится на 5. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=27$ и $b=23$:
$27^3 + 23^3 = (27 + 23)(27^2 - 27 \cdot 23 + 23^2)$.

Вычислим значение первого множителя в скобках:
$27 + 23 = 50$.

Поскольку один из множителей (50) делится на 5 ($50 = 5 \cdot 10$), то и всё произведение делится на 5. Первая часть утверждения доказана.

Теперь докажем, что значение выражения не делится на 9. Для этого воспользуемся теорией сравнений (арифметикой по модулю 9).

Рассмотрим каждое слагаемое по модулю 9:

1. Число 27 делится на 9 без остатка ($27 = 3 \cdot 9$), что можно записать как $27 \equiv 0 \pmod{9}$.
Следовательно, $27^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{9}$.

2. Число 23 при делении на 9 даёт в остатке 5 ($23 = 2 \cdot 9 + 5$), что можно записать как $23 \equiv 5 \pmod{9}$.
Следовательно, $23^3 \equiv 5^3 \pmod{9}$.
$5^3 = 125$.
$125$ при делении на 9 даёт в остатке 8 ($125 = 13 \cdot 9 + 8$), поэтому $125 \equiv 8 \pmod{9}$.
Значит, $23^3 \equiv 8 \pmod{9}$.

Теперь сложим остатки:
$27^3 + 23^3 \equiv 0 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$.

Так как остаток от деления выражения $27^3 + 23^3$ на 9 равен 8, а не 0, то это выражение не делится на 9. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Доказано.

б) значение выражения $33^3 - 16^3$ делится на 17 и не делится на 11

Сначала докажем, что значение выражения делится на 17. Для этого воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=33$ и $b=16$:
$33^3 - 16^3 = (33 - 16)(33^2 + 33 \cdot 16 + 16^2)$.

Вычислим значение первого множителя в скобках:
$33 - 16 = 17$.

Поскольку один из множителей равен 17, то и всё произведение делится на 17. Первая часть утверждения доказана.

Теперь докажем, что значение выражения не делится на 11. Для этого снова воспользуемся сравнениями по модулю, на этот раз по модулю 11.

Рассмотрим уменьшаемое и вычитаемое по модулю 11:

1. Число 33 делится на 11 без остатка ($33 = 3 \cdot 11$), что можно записать как $33 \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, $33^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod{11}$.

2. Число 16 при делении на 11 даёт в остатке 5 ($16 = 1 \cdot 11 + 5$), что можно записать как $16 \equiv 5 \pmod{11}$.
Следовательно, $16^3 \equiv 5^3 \pmod{11}$.
$5^3 = 125$.
$125$ при делении на 11 даёт в остатке 4 ($125 = 11 \cdot 11 + 4$), поэтому $125 \equiv 4 \pmod{11}$.
Значит, $16^3 \equiv 4 \pmod{11}$.

Теперь найдём остаток разности:
$33^3 - 16^3 \equiv 0 - 4 \equiv -4 \pmod{11}$.

Остаток $-4$ по модулю 11 эквивалентен остатку $7$ (так как $-4 + 11 = 7$).
Так как остаток от деления выражения $33^3 - 16^3$ на 11 равен 7, а не 0, то это выражение не делится на 11. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Доказано.