Номер 11, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

31. Разложение разности квадратов на множители. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 56.

Условие.

11. Докажите, что если каждое из чисел $a$ и $b$ не делится на 3, то разность их квадратов делится на 3.

Решение.

Решение 2.

По условию, числа $a$ и $b$ не делятся на 3. Любое целое число, которое не делится на 3, при делении на 3 дает в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим, какой остаток дает квадрат такого числа при делении на 3.

Случай 1: Число при делении на 3 дает в остатке 1. Такое число можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — целое число. Возведем его в квадрат: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Таким образом, квадрат этого числа при делении на 3 дает в остатке 1.

Случай 2: Число при делении на 3 дает в остатке 2. Такое число можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число. Возведем его в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Таким образом, квадрат этого числа также дает в остатке 1 при делении на 3.

Мы доказали, что квадрат любого целого числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает в остатке 1.

Поскольку оба числа, $a$ и $b$, не делятся на 3, их квадраты $a^2$ и $b^2$ можно представить в виде: $a^2 = 3p + 1$ $b^2 = 3q + 1$ где $p$ и $q$ — некоторые целые числа.

Теперь найдем разность их квадратов: $a^2 - b^2 = (3p + 1) - (3q + 1) = 3p + 1 - 3q - 1 = 3p - 3q = 3(p - q)$.

Так как $p$ и $q$ — целые числа, то их разность $(p - q)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(p - q)$ делится на 3 нацело. Это доказывает, что разность квадратов чисел $a$ и $b$ делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов $a^2 - b^2$ всегда будет делиться на 3, если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.